018 谈谈数学:反驳康托尔对于无穷的证明-推荐本电台的《迷人的数学》专辑

健康养生2017-06-11 17:22:36 763
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在《天才引导的历程》一书中提到,康托尔提出自然数集,偶数集,整数集中的元素个数,即集合的基数是相同的。

这就让我感到不理解,自然数是从1到无穷,而正整数是0到无穷。这么看都是正整数比自然数的个数多了1。怎么会得出这两个集合的个数会

是相同的。因此,我做出一下证明。证明之前先作两个定义。


定义1 :在计算集合的元素个数,即集合的基数前,应明确集合的上下限,及从下限移动到上限的规则。

定义2 :  为了定义自然数的上限,需要引入一个自然数的最大值,这个数计作�₀(阿列夫零)。

定义3 :大于�₀(阿列夫零)的数都为超限数。


我们知道圆周率是一个无限不循环数,由于无限不循环,我们只能用字母’排’来表示。因此,对于自然数中最大的值,用一个叫�₀(阿列夫零)来代表。



推论1:自然数集合的定义为,【1, �₀】,从下限1开始,每次增加1,直到上限 �₀(阿列夫零),含有的元素个数为�₀。

证明:运用间隔的计算公式就可以得到自然数集合的元素个数n

n = 1+(上限-下限)/间隔 = 1+( �₀-1)/1  =  �₀。


证明完毕



推论2:整数集合的定义为【- �₀, �₀】,从下限-�₀开始,每次增加1,直到上限�₀。同样运用公式,得到整数集合的元素个数n


n=1+( �₀+ �₀)/1 = 1+2 �₀ 。 注意,这里的n已经不属于自然数,而是超限数,因为它大于�₀(阿列夫零)。



推论3: 对于偶数集合的定义为,【2,�₀】,当�₀为偶数,或【2,�₀-1】,当�₀为奇数,从2开始,每次增加2,直到�₀。


则由公式计算可知,偶数集合的元素个数为 �₀/2,当�₀为偶数或(�₀-1)/2,当�₀为奇数 。 


推论4:对于奇数集合的定义为【1,�₀】,当�₀为奇数或【1,�₀-1】,当�₀为偶数,从1开始,每次增加2,直到�₀。则由公式计算可知,

奇数集合的元素个数为 �₀ /2,当�₀为奇数,或(�₀-1)/2,当�₀为偶数。






由于�₀ 大于 �₀/2或(�₀-1)/2,因此,自然数集合的个数大于偶数集合或奇数集合。



讨论1:对于集合【1,2,1,2…】所含元素个数,就是�₀。


由于这里所说的等等的含义,就是无限多次的循环,而无限多次的含义按计数数而言就是最大到�₀。因此,这里的元素个数就是�₀。 



定义3 :无理数集合在区间(0,1)中的个数为C。


定义4:为了定义无理数,需要引入一个新的值,在无理数中的最小数,称为δ。


推论5:这样无理数集合的定义为【- �₀, �₀】,从- �₀每次增加δ,直到�₀。这里δ为无理数中的最小值。

这样无理数集合的元素个数为n

n = 1 + 2�₀ / δ 


无理数集合在区间【-�₀,�₀】中的个数为n

n = 2*【(0,1) + (1,2)+(2,3)+…(�₀-1,�₀) +(1,2,3,4,…�₀)】

   = 2�₀C + 2�₀ = 2(C+1)�₀


又由于 n = 1+2�₀/δ ,带入公式

1+2�₀/δ  = 2(C+1)�₀

δ+2�₀ = 2(C+1)�₀δ

2 + δ/�₀ =2(C+1)δ


2(C+1)δ - δ/�₀ = 2 

δ*(2C+2 - 1/�₀) = 2


δ = 2/(2C+2 - 1/�₀)



 2Cδ + 2δ - δ/�₀ = 2

2Cδ = 2 - 2δ + δ/�₀

 C = (2 - 2δ + δ/�₀ )/ 2δ = 1/δ + 1/�₀ -1 

C 约等于 1/δ - 1 。 




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