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在《天才引导的历程》一书中提到，康托尔提出自然数集，偶数集，整数集中的元素个数，即集合的基数是相同的。
这就让我感到不理解，自然数是从1到无穷，而正整数是0到无穷。这么看都是正整数比自然数的个数多了1。怎么会得出这两个集合的个数会
是相同的。因此，我做出一下证明。证明之前先作两个定义。
定义1 ：在计算集合的元素个数，即集合的基数前，应明确集合的上下限，及从下限移动到上限的规则。
定义2 : 为了定义自然数的上限，需要引入一个自然数的最大值，这个数计作�₀（阿列夫零）。
定义3 :大于�₀（阿列夫零）的数都为超限数。
我们知道圆周率是一个无限不循环数，由于无限不循环，我们只能用字母’排’来表示。因此，对于自然数中最大的值，用一个叫�₀（阿列夫零）来代表。
推论1:自然数集合的定义为，【1， �₀】，从下限1开始，每次增加1，直到上限 �₀（阿列夫零），含有的元素个数为�₀。
证明：运用间隔的计算公式就可以得到自然数集合的元素个数n
n = 1+（上限-下限）／间隔 = 1+（ �₀-1）／1 = �₀。
证明完毕
推论2：整数集合的定义为【- �₀， �₀】，从下限-�₀开始，每次增加1，直到上限�₀。同样运用公式，得到整数集合的元素个数n
n=1+（ �₀+ �₀）／1 = 1+2 �₀ 。 注意，这里的n已经不属于自然数，而是超限数，因为它大于�₀（阿列夫零）。
推论3: 对于偶数集合的定义为，【2，�₀】，当�₀为偶数，或【2，�₀-1】，当�₀为奇数，从2开始，每次增加2，直到�₀。
则由公式计算可知，偶数集合的元素个数为 �₀／2，当�₀为偶数或（�₀-1）／2，当�₀为奇数 。
推论4:对于奇数集合的定义为【1，�₀】，当�₀为奇数或【1，�₀-1】，当�₀为偶数，从1开始，每次增加2，直到�₀。则由公式计算可知，
奇数集合的元素个数为 �₀ /2，当�₀为奇数，或（�₀-1）／2，当�₀为偶数。
由于�₀ 大于 �₀／2或（�₀-1）／2，因此，自然数集合的个数大于偶数集合或奇数集合。
讨论1：对于集合【1，2，1，2…】所含元素个数，就是�₀。
由于这里所说的等等的含义，就是无限多次的循环，而无限多次的含义按计数数而言就是最大到�₀。因此，这里的元素个数就是�₀。
定义3 ：无理数集合在区间（0，1）中的个数为C。
定义4:为了定义无理数，需要引入一个新的值，在无理数中的最小数，称为δ。
推论5:这样无理数集合的定义为【- �₀， �₀】，从- �₀每次增加δ，直到�₀。这里δ为无理数中的最小值。
这样无理数集合的元素个数为n
n = 1 + 2�₀ ／ δ
无理数集合在区间【-�₀，�₀】中的个数为n
n = 2*【（0，1） + （1，2）+（2，3）+…（�₀-1，�₀） +（1，2，3，4，…�₀）】
= 2�₀C + 2�₀ = 2（C+1）�₀
又由于 n = 1+2�₀/δ ，带入公式
1+2�₀/δ = 2（C+1）�₀
δ+2�₀ = 2（C+1）�₀δ
2 + δ／�₀ =2（C+1）δ
2（C+1）δ - δ／�₀ = 2
δ*(2C+2 - 1/�₀) = 2
δ = 2/(2C+2 - 1/�₀)。
2Cδ + 2δ - δ/�₀ = 2
2Cδ = 2 - 2δ + δ/�₀
C = (2 - 2δ + δ/�₀ )/ 2δ = 1/δ + 1/�₀ -1
C 约等于 1/δ - 1 。
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