2 数论2: 平方和的个位数

教育培训2019-05-31 21:35:22 65
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一串连续正整数的平方


的和的个位数是? 

解:

方法一:

先计算1^2,2^2,3^2, … … ,9^2的和的个位数,等于5. 这是一个可以不断重复的单元。

然后找出有奇数个5,还是偶数个5.

1 ~ 9 → 1

1 ~ 19 → 2

1 ~ 29 → 3

1 ~ 39 → 4

… …

可以总结出:当十位数是0或者偶数时,有奇数个5;当十位数是奇数时,则有偶数个5。题目中的最后一个单元是123456781 ~ 123456789,十位数为偶数,所以5一共相加了奇数次。那么最后可以得出,和的个位数是5了。

 


方法二: 用公式

1^2 + 2^2 + 3^2 +… + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 

当n = 123456789 时,它整除3,所以剩下考虑n + 1与2的关系 —— n + 1除以2的个位数就是本题的答案。实际上,看最后两个数字89,89 + 1 = 90,90÷2 = 45,个位数是5。 


总结:方法是多种多样的,记得公式直接代入,不记得的话从小范围找规律。公式的证明链接: http://math001.com/formula/,可以在网站的任何一个页面搜索“整数裂项公式”找到。


math001.com/iq → 数论 →第2题

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