3 数论3: 五个数的和的末尾数字

教育培训2019-06-01 11:23:30 96
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设a,b,c,d,e是五个不同的正整数,其中有且只有一个是偶数,若方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)= 2010有大于a,b,c,d,e的整数解x,则a+b+c+d+e的末位数字是? 


2010 = 1 ×2 × 3 × 5 × 67 


方法一:

x - a = 1,  x - b = 2,  x - c = 3, x - d = 5,  x - e = 67

abcde是五个不同的正整数,有无数种可能。取x 的最小值1 + 67 = 68,把68赋值给x

(68- 67)(68 - 66)(68 - 65)(68- 63)(68 - 1)

其中66是的唯一的一个偶数

末位数字相加 7 + 6 + 5 + 3 + 1 = 22 


你会问:上面的b = 66这只是其中的一种可能,其余情况的呢?

b是唯一的偶数,让b = 66 + 2k

x - b = 2

x = 68 + 2k

x-ax-e, 一共加了 2k * 5 = 10k,求和时末位数不变。 


(100- 99)(100 - 98)(100 - 97)(100- 95)(100 - 33)

末位数字相加9 + 8 + 7 + 5 + 3 = 32

 


方法二:

a+b+c+d+e = 5x - [x-a+x-b+x-c+x-d+x-e]

x-a+x-b+x-c+x-d+x-e)的和是1+2+3+5+67,末位数字:8

5x的末位数。
abcde中有且只有一个是偶数,

∴其他4个数都是奇数

x-a,  x-b,  x-c,  x-d,  x-e 有一项是2

   偶数 - 偶数 = 偶数,偶数 奇数 = 奇数

∴有且只有一项式子为偶数

x只能为偶数, 5x的末尾数字为0,即为10 – 8 = 2



总结:两种方法,都是对2010进行因数分解,找出所有的因数,但当题目中有5个式子时,再补充一个因数1. 然后根据“有且只有一个是偶数”作为限定条件。


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