1481【分形】英国的海岸线有多长

比如说康托尔三分集，这也是一个重复性的操作，先取一条长度为1的线段，把它三等分，去掉中间那一段，剩下左右两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，这就剩下更短的四段，继续按照这个规律操作，三等分，去中间，三等分，去中间，一直继续下去，直至无穷，在这个不断分割与舍弃过程中，所形成的线段数目会越来越多，长度也越来越小，在极限的情况下，就得到一个离散的点集，这就叫康托尔三分集，你要问这玩意有啥用，对于我们普通百姓来说，真就没啥用，但是，你可以领略一下数学的气质与美感。

这就是一个局部与整体相似的分形系统，你把任意一段拿出来放大一看，与整体都有同样的性质，而且，这也让传统的几何学陷入危机，用传统的几何语言难以准确描述，你要说这是点吧，感觉还不是那种传统意义是没有长度的点，你要说他是线段吧，最后又都给切的稀碎稀碎的了，理论上长度又是零，在结构上，它既不满足某些简单条件，比如说是点运动的轨迹，也不是任何简单方程的解集，所以，在【曼德布罗特】提出分形之前，康托尔三分集无异于就是数学中的怪物。

再比如，这个雪花曲线，也叫科赫曲线，这个也不难，你自己就能画出来，先在纸上画一个正三角形，尽量画的大一点，然后把三角形的每一边都三等分，再以中间这一段作为边，向外作一个正三角形，然后，把原来的“中间这一段”擦掉，这时候就形成了一个六角星的图案，看起来有点雪花的意思了吧，这只是第一步，接下来，你要做的就是重复以上的步骤，把一边三等分，以中间那段为边再做一个正三角形，一直重复下去，就更像雪花了，最后形成的这个曲线就叫做科赫曲线。你要问这玩意有啥用，同样，也真是没啥用，但是我们也可以领略一下他的气质，他有一个明显的特点，就是这片雪花的面积是有限的，但是他的周长却是无限的。虽然，你不会计算他的面积，没关系，你总可以在这个雪花外边画一个大圆把它给包上，所以，它的面积不会大于这个圆，所以面积是有限的，但是，他的周长呢，每重复一次上面的这个操作，就会多出一些小的三角形，小三角形边长是原来的1/3那么长，但是边数是原来的4倍，所以，周长是原来的4/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加了1/3。子子孙孙无穷匮也，最后一定是无穷大了，也就是用"无穷大"的边界，包围着有限的面积，救活了篱笆厂，坑死了开发商，你说这上哪说理去。所以，这种曲线也被当时的数学家称为病态曲线。

可以这样想一下，首先画一个最简单一维的图形，也就是一条线段，然后，根据自相似的要求，把这线条分成2份，就得到了2条与原来相似的，但是短一些线段，如果分成3份，就得了3条与原来相似的，但是更短一些线段，感觉这就是废话，毫无难度，别着急，这个简单的操作过程，蕴含着一个深刻道理，在一维空间内，我们把原图形均匀的分割成多少段，我们就会得到多少个更小的自相似图形。

那再看二维的平面，画一个正方形。也是根据自相似的要求，很容易就想到了，把一个正方形画成一个田字。也就是仍然取原来这个图形一条边的二分之一，就产生了4个小的正方形，这个四是怎么算出来的，你当然可以说是一个一个数出来的了，但是，这是2^2次幂计算出来的结果，前面的这个2指的是均匀的分割成了多少段，指数这个2指的是这个图形所处的维度。

如果把这个大正方形，每条边都均匀的分成3段，这样，就得到了一个九宫格，也就是9个自相似的小正方形，这个9是怎么算的呢，就是3^2次幂，这个3就是分成了3份，指数2还是所处的维度，2维。你要是把边长平均分割成10份，那你就会得到100个小正方形，就是10^2幂，感觉还是废话，没啥复杂的。

再看3维世界，想象有一个立方体，比如一块豆腐，横，纵，平，切三刀，你就得到了八块一样的小块豆腐，用数学语言来说，就是把原来这个立方体每一条边都平均的分成了两份，这样我们就得到了，2^3，8个新的自相似体，如果是，每一条边都平均的分成了三份呢，就可以得到3^3，27个小立方体，这就像是一个魔方一样，如果分成5份，就会得到，5^3个，也就是125个小立方体。

感觉还是废话，没啥难度的。

通过以上这一大堆废话的介绍，我们就可以发现一些规律。无论是在一维，二维，三维，甚至是更高维的空间，产生新的小的自相似图形的数目总是与每个边长平均分成的份数，以及他所处的维度有关。分成的份数越多，所处的维度越高，产生的新的小图形就越多。我们笨理一想，也是这个道理，分割的越多当然产生的小图形越多了，处于越多的维度，自然就可以向更多的方向进行拓展，产生的小图形自然也就越多了。

说到这，还都像人话。

但是，仅仅是感性上的认知还不够，我们还要推导出一个公式，就是产生新的小图形的量，等于分割成份数的维数次幂，如果用公式表达的话，就是  a^D=b，其中a就是分成了多少份，或者说是，某个图形把它的边长变为原来的1/a，D就是它所处的维度，b就是通过分形之后，得到的小图形数目。我们刚刚说的那一些废话都可以用这个公式来表述了。然后，经过对数的转换， D=logb/loga。

就也意味着，我们通过观察分形后的图形，看看他是截取了几分之一段，最后产生了多少个小图形，就能反推出来，他所处的维度了。

当然了，以上这个推导过程，完全是凭我们的经验得到的结果，数学家当然有更严格的证明，但是，咱能把刚才我说的这个事整明白就不错了。

从这个公式就可以看出来，D即可以是整数，也可以是分数。虽然，我们平时都没接触过1.6维，2.8维的东西，但是现在就请大家排除主观上本能的感觉。放飞自己的思想。

我给你说举两个例子，你就明白了。

有一个怪物叫谢尔宾斯基三角形，这个是怎么生成的。

第一步，画一个等边三角形，其它三角形也行，只是等边三角形容易理解一些。

第二步，连接三角形三条边的中点，将原来的三角形，分成四个小的正三角形。

第三步，用剪刀剪掉中间的那一个小三角形，这时候，你就是剩下三个小角形。

第四步，就是对剩下的这三个小角形，重复以上的操作。

这个谢尔宾斯基三角形的维度是多少呢，不妨用D=logb/loga。这个公式算一下。

这个操作的过程，是在原来的一条边上取中点，也就是分成了两段，所以，公式中的a就等于2，再看看新产生了多少个小的自相似图形呢，本来是中点一连线产生了4个，但是把中间的那个给扣掉了，不算了，所以，就是新生成了3个小图形，这里边的b就是3，维度就是log3/log2，用计算器一算，大约就是1.585。

再算一个怪物，门格海绵的维度。这个是咋回事。

第一步，画一个立方体。

第二步，把立方体的每一个面分成9个正方形。也就是把正方体分成27个小正方体，就和魔方一样。

第三步，把每一面的中间的小正方体扣掉，再把最中心的立方体也扣掉，这样就留下20个小正方。这个不好画，但是很容易就可以脑中相像出这个画面。

第四步，就是对每一个留下的小正方体都重复以上的的步骤。最后，得到的这个玩意就是门格海绵。

他的维度怎么算呢。先看看把每一条边上的线段分成了多少段，3段呗。

再看看新产生了多少个小立方体呢。20个呗，因为我们说了，本来是产生了27个，又给扣下去了7个，所以，它的维度就是log20/log3，大约就2.7，

有兴趣的朋友，可以自己算算谢尔宾斯基地毯的维度，它的生产法则是这样的，把一个实心的正方形划分为9个小正方形，然后去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作，其实，也可以看做是门格海绵的一个面。如果算出来了，可以在节目下方留言。

看看雪花曲线是怎么生成的，取其中的一小段放大了仔细看，他每迭代变换一次，生成的新图形，就是把原来的的线段进行了3等分，支出了三角形，抹去了原来中间这段，结果就是变成了4个一样长的小线段，所以这里边的a就是，把原有的线段分成了3份，也就是3，b是新产生的4个一样长的小线段，就是4。最后经过计算，雪花曲线的维数就是log4/log3，约等于1.2618。这就是雪花曲线的维度了。