求解联通图的最小联通代价——最小生成树：普里姆算法

2024-04-27 23:34:2108:00 45

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普里姆算法（Prim算法）是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。其基本思想是从一个顶点开始，每次选择与当前生成树距离最短的顶点，并将其加入生成树中，直到所有顶点都加入生成树为止。

以下是普里姆算法的详细描述：

初始化：选择一个起始顶点，将其加入已选顶点集合，并将其所有相邻顶点的距离（权重）加入待选顶点集合。
选择：从未选顶点集合中选择距离已选顶点集合最近的顶点，并将其加入已选顶点集合。
更新：更新已选顶点集合与未选顶点集合中所有顶点的距离，确保它们之间的距离是最短的。
重复：重复步骤2和3，直到所有顶点都加入已选顶点集合，此时得到的边集合就是最小生成树。

下面举一个普里姆算法的实例：

假设有一个带权重的无向图G，顶点集合为V={A, B, C, D, E}，边集合为E={(A, B, 7), (A, C, 5), (B, C, 8), (B, D, 9), (B, E, 7), (C, E, 5), (D, E, 15)}。

我们可以选择A作为起始顶点，进行普里姆算法的计算：

初始化：已选顶点集合={A}，待选顶点集合={B, C, D, E}，距离集合={B:7, C:5, D:∞, E:∞}。
选择：从未选顶点集合中选择距离已选顶点集合最近的顶点，即C，加入已选顶点集合。
更新：更新已选顶点集合与未选顶点集合中所有顶点的距离，得到新的距离集合={B:7, D:∞, E:5}。
重复：从未选顶点集合中选择距离已选顶点集合最近的顶点，即E，加入已选顶点集合。
更新：更新距离集合，得到新的距离集合={B:7, D:9}。
重复：选择B加入已选顶点集合，更新距离集合，得到D的距离为9。
重复：选择D加入已选顶点集合，此时所有顶点都已加入已选顶点集合，算法结束。

最终得到的最小生成树为{(A, C, 5), (C, E, 5), (A, B, 7), (B, D, 9)}，总权重为26。

普里姆算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。在实际应用中，可以通过使用优先队列等数据结构来优化算法的性能。

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