离散数学中怎么求单位元零元逆元?
1.幺元(单位元)∶
设*是集合Z中的二元运算:
(1)若有一元素el∈Z,对任一x∈Z有el*x=x;则称e1为Z中对于*的左幺元(左单位元素)。
(2)若有一元素erEZ,对任一x∈Z有x*er=x;则称er为Z中对于*的右幺元(右单位元素)。
定理:
若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,则对于每一个x∈Z,可有el=er=e和e*x=x*e=x,则称e为Z中关于运算*的幺元,且e∈Z是唯一的。
2.零元定义:
设*是对集合Z中的二元运算:
(1)若有一元素0ez,且对每一个xeZ有0*x=e,则称e为Z中对于*的左零元。
(2)若有一元素0r ez,且对每一个xeZ有x*0r= 0r,则称0为Z中对于*的右零元。(零元不存在逆元)。
定理:
若el和er分别是Z中对于*的左零元和右零元,于是对所有的xeZ,可有el=Or=0,能使0*x=x*O=0。在此情况下,0∈Z是唯一的,并称0是Z中对*的零元。
3.逆元定义:
设*是Z中的二元运算,且Z中含幺元e,令x∈z:
(1)若存在一xl∈Z,能使xl*x=e,则称xl是x的左逆元,并且称x是左可逆的。
(2)若存在一xr∈Z,能使x*xr=e,则称xr是x的右逆元,并且称x是右可逆的。
(3)若元素x既是左可逆的,又是右可逆的,则称x是可逆的,且x的逆元用x1表示。
定理:
设Z是集合,并含有k元e。*是定义在Z上的一个二元运算,并且是可结合的。若x∈Z是可逆的,则它的左逆元等于右逆元,且逆元是唯一的。
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