概率论的起源与发展
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概率雏形
1470年,也就是唐伯虎出生的那一年,有一本拉丁文的诗书《De Vetula》出版。上面有首诗记录了3个骰子点数和的排列组合
左图为原始印刷,数字的写法和我们现在有些不同。右边为阿拉伯数字版本。可以看出,三个骰子点数相加等于10或者11,有6种组合情况,但是排列情况有27种。
140年后,也就是1610年,伽利略发现了木星的卫星。差不多在这个时候,资助伽利略的Tuscany大公请教了伽利略3个骰子和的问题。Tuscany大公是个赌徒,他在赌博时,发现三个骰子点数和为10比点数和为9出现的更频繁一些。他想不明白,按他的思路,有6种方式得到10,分别为631,622,541,532,442,433;同样有6种方式得到9,分别是621,531,522,441,432,333。他觉得这9和10出现的频率不应该有差异。
伽利略指出了大公的错误,三个骰子是不同的,631和613是不同的两种情况。可惜伽利略那个时候只考虑了频次,还没有形成概率的思想。
概率的思想是什么时候形成的呢?大概是1564年左右,这个时候伽利略刚出生。意大利博学家Cardano写了本书《Liber de Ludo Aleae ("Book on Games of Chance")》,但是这本书直到大概一个世纪后的1663年才出版。伽利略1642年去世,所以也没有机会看到。书里就包含了一些概率的早期思想。Cardano据说是达芬奇一个律师朋友的私生子。他是第一个系统的推算概率的人,可以说是创派始祖。
三个骰子和的问题Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》的第13章有提到并且解决。
从时间上来看,《De Vetula》其实已经给出了三个骰子和的答案,70年后Cardano也给出了答案,但是140年后的Tuscany公爵还是得请教伽利略,可见古代知识的流通极为困难。
Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》第十四章中明确定义了“比例”,如果赌局中有利的所有可能的数目为a,不利情况的数目b,则应该根据a/b的结果来下注。
概率论的诞生
Cardano虽说是概率的创派始祖,但是真正变成概率论这样一门学科的标志性事件是1654年Pascal和Fermat的通信。Pascal就是法国物理学家和数学家帕斯卡,学过物理的都知道压强单位。Fermat就是提出“费马大定理”并且困扰数学家300年之久的费马。
故事的起源是另一个著名的赌徒Antoine Gombaud,但是他更让人熟知的名字是Chevalier de Méré(来自梅尔的骑士),国内大多翻译成德梅尔。德梅尔被一个赌徒分金的问题困扰。赌徒分金问题描述如下:
两个赌徒A和B水平相当,胜率各自50%,约定先赢s局的拿走所有赌注。当A赢了a局,B赢了b局的时候,比赛由于某些原因中断,问这时候符合分配奖金是公平合理的?
假设s=6,a=5,b=3。
这个问题最早是由意大利数学家Paccioli在1494年提出,当时Paccioli给出的答案是a:b这么分,也就是5:3。后续也有很多数学家思考过这个问题,但是按照已发生的事件进行推断。
1537年,Cardano也曾经思考过这个问题,他给出了一个公式f(n)=1+2+3+...+n。A还剩s-a局就可以获胜,B还剩s-b局可以获胜,两者的分金比率应该为f(s-b):f(s-a)=(s-b)(s-b+1):(s-a)(s-a+1),也就是6:1。虽然答案错误,而且没搞清楚Cardano是怎么思考的,但是Cardano已经开始考虑用未来剩余的赌局来决策,而不是局限于已发生的事件。
直到1654年德梅尔向Pascal请教,Pascal和Fermat进行书信交流,并且用不同的解法给出了这个问题的正确答案。
Fermat给出了最朴素易懂的解法:如果比赛不终止,那么最多还需要比赛3场就可以分出胜负。可能的结果分别为{AAA,AAB,ABA,ABB, BAA,BAB, BBA, BBB},所有的结果中,B只有一个结果获胜,也就是连胜三局。所以分金比例应该为7:1。
Pascal用了两种更难的解法,一种是Pascal三角形(杨辉三角),一种是递推。
Pascal根据该Pascal三角形的性质:第n行第k个数字,等于从n-1件物品中一次取出k件的组合数。认为A在余下3场赢3场的组合数为C(3,3)=1,赢2场的组合数为C(2,3)=3,赢1场的组合数为C(1,3)=3,全输的组合数为C(0,3)=1。故应按照7:1来分。三角形的解法可以认为是Fermat解法的升级版本,即使是a和b的值发生变化都能按图索骥得到答案。
递推的解法也非常精彩。Pascal分析了这个问题的一个简化版本,就是s=3,a=2,b=1的情况。假设A和B的赌注一共为64个金币,当2:1比分的情况下,如果第三局A胜利了,那么会得到全部64枚金币,如果A输了,则比分变成2:2,这时候是平局,AB平分奖金。A可以说,不管哪一种情况,我至少会拿32个金币,至于剩余的32个金币,可能归我也可能归你,平分。这样A应该拿32+(64-32)/2=48个金币,B则拿16个金币。
用该思想来考虑s=6,a=5,b=4的情况。与s=3,a=2,b=1的情况类似,A应该拿32+(64-32)/2=48个金币。再考虑s=6,a=5,b=3的情况,如果下一局A胜利,则拿到所有奖金,如果A落败,则问题转化为s=6,a=5,b=4的情况。所以此时A可以说,我至少拿48个硬币,剩余金币平分,则A最终可以拿48+(64-48)/2=56个金币,B只能拿8个金币。和Fermat的7:1结果相同。
在递推解法里,Pascal可能无意之间使用到了期望,尤其是48+(64-48)/2这个式子。换一种说法,假设A赢了后得到x=64金币,输了后得y=48金币,则A应该分到多少金币?按Pascal的式子,应为y+(x-y)/2=(x+y)/2=x*0.5+y*0.5,这其实就是期望。
后来,荷兰数学家Huygens也参与了Pascal和Fermat的讨论,并且在1657年出版了一本书,名字叫《De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance")》,标志着现代概率论的诞生。
1470年,也就是唐伯虎出生的那一年,有一本拉丁文的诗书《De Vetula》出版。上面有首诗记录了3个骰子点数和的排列组合
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三个骰子和的问题Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》的第13章有提到并且解决。
从时间上来看,《De Vetula》其实已经给出了三个骰子和的答案,70年后Cardano也给出了答案,但是140年后的Tuscany公爵还是得请教伽利略,可见古代知识的流通极为困难。
Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》第十四章中明确定义了“比例”,如果赌局中有利的所有可能的数目为a,不利情况的数目b,则应该根据a/b的结果来下注。
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Cardano虽说是概率的创派始祖,但是真正变成概率论这样一门学科的标志性事件是1654年Pascal和Fermat的通信。Pascal就是法国物理学家和数学家帕斯卡,学过物理的都知道压强单位。Fermat就是提出“费马大定理”并且困扰数学家300年之久的费马。
故事的起源是另一个著名的赌徒Antoine Gombaud,但是他更让人熟知的名字是Chevalier de Méré(来自梅尔的骑士),国内大多翻译成德梅尔。德梅尔被一个赌徒分金的问题困扰。赌徒分金问题描述如下:
两个赌徒A和B水平相当,胜率各自50%,约定先赢s局的拿走所有赌注。当A赢了a局,B赢了b局的时候,比赛由于某些原因中断,问这时候符合分配奖金是公平合理的?
假设s=6,a=5,b=3。
这个问题最早是由意大利数学家Paccioli在1494年提出,当时Paccioli给出的答案是a:b这么分,也就是5:3。后续也有很多数学家思考过这个问题,但是按照已发生的事件进行推断。
1537年,Cardano也曾经思考过这个问题,他给出了一个公式f(n)=1+2+3+...+n。A还剩s-a局就可以获胜,B还剩s-b局可以获胜,两者的分金比率应该为f(s-b):f(s-a)=(s-b)(s-b+1):(s-a)(s-a+1),也就是6:1。虽然答案错误,而且没搞清楚Cardano是怎么思考的,但是Cardano已经开始考虑用未来剩余的赌局来决策,而不是局限于已发生的事件。
直到1654年德梅尔向Pascal请教,Pascal和Fermat进行书信交流,并且用不同的解法给出了这个问题的正确答案。
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Pascal用了两种更难的解法,一种是Pascal三角形(杨辉三角),一种是递推。
Pascal根据该Pascal三角形的性质:第n行第k个数字,等于从n-1件物品中一次取出k件的组合数。认为A在余下3场赢3场的组合数为C(3,3)=1,赢2场的组合数为C(2,3)=3,赢1场的组合数为C(1,3)=3,全输的组合数为C(0,3)=1。故应按照7:1来分。三角形的解法可以认为是Fermat解法的升级版本,即使是a和b的值发生变化都能按图索骥得到答案。
递推的解法也非常精彩。Pascal分析了这个问题的一个简化版本,就是s=3,a=2,b=1的情况。假设A和B的赌注一共为64个金币,当2:1比分的情况下,如果第三局A胜利了,那么会得到全部64枚金币,如果A输了,则比分变成2:2,这时候是平局,AB平分奖金。A可以说,不管哪一种情况,我至少会拿32个金币,至于剩余的32个金币,可能归我也可能归你,平分。这样A应该拿32+(64-32)/2=48个金币,B则拿16个金币。
用该思想来考虑s=6,a=5,b=4的情况。与s=3,a=2,b=1的情况类似,A应该拿32+(64-32)/2=48个金币。再考虑s=6,a=5,b=3的情况,如果下一局A胜利,则拿到所有奖金,如果A落败,则问题转化为s=6,a=5,b=4的情况。所以此时A可以说,我至少拿48个硬币,剩余金币平分,则A最终可以拿48+(64-48)/2=56个金币,B只能拿8个金币。和Fermat的7:1结果相同。
在递推解法里,Pascal可能无意之间使用到了期望,尤其是48+(64-48)/2这个式子。换一种说法,假设A赢了后得到x=64金币,输了后得y=48金币,则A应该分到多少金币?按Pascal的式子,应为y+(x-y)/2=(x+y)/2=x*0.5+y*0.5,这其实就是期望。
后来,荷兰数学家Huygens也参与了Pascal和Fermat的讨论,并且在1657年出版了一本书,名字叫《De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance")》,标志着现代概率论的诞生。
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