初中几何
已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA,探究∠DBC与∠ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程: (1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图。观察图形,AB和AC的数量关系是﹏﹏﹏﹏;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为﹏﹏﹏﹏;可得到角DBC与角ABC度数的比值为﹏﹏﹏。 (2)当角BAC≠90°时,请你画出图形,研究出角DBC与角ABC度数的比值是 否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
1个回答
解:(1)①当∠BAC=90°时,
∵∠BAC=2∠ACB,
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC(等角对等边);
②当∠DAC=15°时,
∠DAB=90°-15°=75°,
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=75°,
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBC=45°-30°=15°,即∠DBC=15°,
∴∠DBC的度数为15°;
③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC=15°:∠ABC=45°=1:3,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
(2)猜想:∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同.
证明:如图2,作∠KCA=∠BAC,过B点作BK∥AC交CK于点K,连接DK.
∴四边形ABKC是等腰梯形,
∴CK=AB,
∵DC=DA,
∴∠DCA=∠DAC,
∵∠KCA=∠BAC,
∴∠KCD=∠3,
∴△KCD≌△BAD,
∴∠2=∠4,KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC.
∵BK∥AC,
∴∠ACB=∠6,
∵∠KCA=2∠ACB,
∴∠5=∠ACB,
∴∠5=∠6,
∴KC=KB,
∴KD=BD=KB,
∴∠KBD=60°,
∵∠ACB=∠6=60°-∠1,
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1,
∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°,
∴∠2=2∠1,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
∵∠BAC=2∠ACB,
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC(等角对等边);
②当∠DAC=15°时,
∠DAB=90°-15°=75°,
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=75°,
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBC=45°-30°=15°,即∠DBC=15°,
∴∠DBC的度数为15°;
③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC=15°:∠ABC=45°=1:3,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
(2)猜想:∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同.
证明:如图2,作∠KCA=∠BAC,过B点作BK∥AC交CK于点K,连接DK.
∴四边形ABKC是等腰梯形,
∴CK=AB,
∵DC=DA,
∴∠DCA=∠DAC,
∵∠KCA=∠BAC,
∴∠KCD=∠3,
∴△KCD≌△BAD,
∴∠2=∠4,KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC.
∵BK∥AC,
∴∠ACB=∠6,
∵∠KCA=2∠ACB,
∴∠5=∠ACB,
∴∠5=∠6,
∴KC=KB,
∴KD=BD=KB,
∴∠KBD=60°,
∵∠ACB=∠6=60°-∠1,
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1,
∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°,
∴∠2=2∠1,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
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