一个班里有30名学生
容斥问题过程一个班里有30名学生,有12人会跳拉丁舞,有8人会跳肚皮舞,有10人会跳芭蕾舞。问至多几人回跳两种舞蹈?A.12人B.14人C.15人D.16人... 容斥问题 过程 一个班里有30名学生,有12人会跳拉丁舞,有8人会跳肚皮舞,有10人会跳芭蕾舞。问至多几人回跳两种舞蹈?A.12人 B.14人 C.15人 D.16人 展开
1个回答
本题答案为C。
---------------------------常规解题思路分析------------------------------------
变形的容斥原理问题。要使会跳两种舞蹈的人最多,则尽量在三种舞蹈之间进行匹配,使得两两匹配的人数之和最多。因此就不能将一种舞蹈只与另一种舞蹈进行全额匹配,例如不能将会跳肚皮舞的8人全部与拉丁舞匹配。实际上,为实现两两匹配的最多,则每组用于匹配的人数应相等或接近。从最少人数出发,会跳肚皮舞的8人,将其划分时要考虑拉丁舞和芭蕾舞人数相差2,故在划分此8人时注意这一点,可将8人划分为5人和3人。其中5人除了会肚皮舞之外,还会拉丁舞;3人会肚皮舞之外还会芭蕾舞。此时拉丁舞与芭蕾舞还各自剩7人、7人,又可以匹配得到7人既会拉丁舞又会芭蕾舞。会跳两种舞的人数至多为15人。
上述分析方法是找到了这类问题解决分析的突破口。除了这个方法外,也可以尝试用下面这个方法
--------------------------不等式的分析技巧-------------------------------------
假定拉丁+肚皮、肚皮+芭蕾、芭蕾+拉丁的人数分别为x、y、z,则根据题意可知x+y≤8,x+z≤12,y+z≤10,求取x+y+z的最大值。对于前述三个不等式,先将不等号变为等号尝试求解一下,恰好可得x=5,y=3,z=7,代回验证可知所有条件均满足。因此可知x+y+z的最大值为15。
对于这个思路而言,关键点是不等式的求解。而对于多数人来说,都不熟悉不等式的求解,怎么办呢?通常是先变不等号为等号,尝试求一个初始值,若为整数,则答案找到;若不为整数,则在所得值附近进行调整。
---------------------------常规解题思路分析------------------------------------
变形的容斥原理问题。要使会跳两种舞蹈的人最多,则尽量在三种舞蹈之间进行匹配,使得两两匹配的人数之和最多。因此就不能将一种舞蹈只与另一种舞蹈进行全额匹配,例如不能将会跳肚皮舞的8人全部与拉丁舞匹配。实际上,为实现两两匹配的最多,则每组用于匹配的人数应相等或接近。从最少人数出发,会跳肚皮舞的8人,将其划分时要考虑拉丁舞和芭蕾舞人数相差2,故在划分此8人时注意这一点,可将8人划分为5人和3人。其中5人除了会肚皮舞之外,还会拉丁舞;3人会肚皮舞之外还会芭蕾舞。此时拉丁舞与芭蕾舞还各自剩7人、7人,又可以匹配得到7人既会拉丁舞又会芭蕾舞。会跳两种舞的人数至多为15人。
上述分析方法是找到了这类问题解决分析的突破口。除了这个方法外,也可以尝试用下面这个方法
--------------------------不等式的分析技巧-------------------------------------
假定拉丁+肚皮、肚皮+芭蕾、芭蕾+拉丁的人数分别为x、y、z,则根据题意可知x+y≤8,x+z≤12,y+z≤10,求取x+y+z的最大值。对于前述三个不等式,先将不等号变为等号尝试求解一下,恰好可得x=5,y=3,z=7,代回验证可知所有条件均满足。因此可知x+y+z的最大值为15。
对于这个思路而言,关键点是不等式的求解。而对于多数人来说,都不熟悉不等式的求解,怎么办呢?通常是先变不等号为等号,尝试求一个初始值,若为整数,则答案找到;若不为整数,则在所得值附近进行调整。
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