有趣的数学题!

"数"一般指复数

复数分为实数和虚数

实数包括有理数和无理数(即无限不循环小数)

有理数包括整数和分数(也可以分为正数，负数和0).



什么是虚数



负数开平方，在实数范围内无解。

数学家们就把这种运算的结果叫做虚数，因为这样的运算在实数范围内无法解释，所以叫虚数。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。

于是，实数成为特殊的复数(缺序数部分)，虚数也成为特殊的复数(缺实数部分)。

虚数单位为i, i即根号负1。

3i为虚数，即根号(-3), 即3×根号(-1)

2+3i为复数，(实数部分为2，虚数部分为3i)

虚数的实际意义



大多数人最为熟悉的数有两种，即正数(+5，

+17.5)和负数(-5，-17.5)。负数是在中世

纪出现的，它用来处理3-5这类问题。从古代人看来，要

从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪

的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹

果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”

这就等于说:(+3)-(+5)=(-2)。

正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘

正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，

负数乘负数，其乘积为正。

因此，(+1)×(+1)=(+1);

(+1)×(-1)=(-1);

(-1)×(-1)=(+1)。

现在假定我们自问:什么数自乘将会得出+1?或者用

数学语言来说，+1的平方根是多少?

这一问题有两个答案。一个答案是+1，因为(+1)

×(+1)=(+1);另一个答案则是-1，因为(-1)

×(-1)=(+1)。数学家是用√￣(+1)=±1来

表示这一答案的。(碧声注:(+1)在根号下)

现在让我们进一步提出这样一个问题:-1的平方根是

多少?

对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是+1，因

为+1的自乘是+1;答案也不是-1，因为-1的自乘同

样是+1。当然，(+1)×(-1)=(-1)，但这是

两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。

这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，

譬如说#1，而且给它以如下的定义:#1是自乘时会得出

-1的数，即(#1)×(#1)=(-1)。当这种想法

刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为

这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一

点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有

一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。

但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给

这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正

虚数写为(+i)，把负虚数写为(-i)，而把+1看作

是一个正实数，把(-1)看作是一个负实数。因此我们可

以说√￣(-1)=±i。

实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有+5，

-17.32，+3/10等实数一样，我们也可以有

+5i，-17.32i，+3i/10等虚数。

我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。

假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数

系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧

的就是负实数。

这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线

时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直

线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。

这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所

有的数都表示出来。例如(+2)+(+3i)或

(+3)+(-2i)。这些数就是“复数”。

数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数

字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他

们就无法做到这一点了。