求解一道数学题。

无穷次。
解：设甲乙之间的距离为M(n),表示狗来回n次后甲乙之间的距离。
甲走了四分钟后，乙跟狗才开始走
所以M(0)=1100-65*4=840(狗这时候才刚出发，一次都还没来回过)

一开始狗先与甲相遇，花的时间为M(0)/(150+65)=M(0)/215
此时，甲与乙之间的距离缩短了(65+75)*M(0)/215=(28/43)*M(0)
甲乙之间的距离只剩M(0)-(28/43)*M(0)=(15/43)*M(0)
然后狗又转头跑到乙那边，花的时间为(15/43)*M(0)/(150+75)=M(0)/645
此时，甲与乙之间的距离又缩短了(65+75)*M(0)/645=(28/129)*M(0)
甲乙之间的距离只剩(15/43)*M(0)-(28/129)*M(0)=(17/129)*M(0)

到这里为止，狗完成了一个来回了，M(1)=(17/129)*M(0)
因为(17/129)>0,M(0)>0
所以毫无疑问，M(1)>0
也就是说甲乙之间还有距离，甲乙仍未相遇，
狗还得来回跑

接着算来回2次后甲乙之间的距离M(2)，步骤跟之前一模一样，结果发现M(n)遵循这么个等式：
M(n)=(17/129)*M(n-1),n是自然数。
因为17/129>0,M(1)>0
所以M(2)>0
因为17/129>0,M(2)>0
所以M(3)>0
。。。。。。。。。。
于是乎发现M(n)>0恒成立。也就是说，每当狗来回一次之后，甲乙之间总是还有一定的距离，虽然说到后来，这点距离已经很小很小了，但仍然不等于0，甲乙还是没有相遇，狗还得继续来回。
答案就是狗来回了无穷次。
————————————————————————————————
这道题有点像阿基里斯永远追不上乌龟这个谬论。根据你的题目得出的答案之所以看起来这么奇怪，令人难以置信，就在于你的题目中，默认的把人和狗都当成了没有任何体积的质点，默认时间和空间都是绝对连续的。
实际上，时间、空间都是有它的最小单位的，并非绝对连续。当某一时刻，甲乙之间的距离减小到空间的基本单位的时候，就再也没法进一步减小了，甲乙实际上就是相遇了。
而且当甲乙两人之间的距离小到一定程度以后，比如说距离为10cm时,这个时候就不能把甲乙和狗当质点了，因为甲、乙、狗自身的大小相对于甲乙之间的距离来说已经相当大了，足以明显地影响计算结果，造成很大的误差了，这时必须得考虑甲乙、狗的自身大小了。就像两个半径为10cm的球，你把他们靠在一起，这两个球实际已经相遇了，可是如果你把两个球当成两个质点来计算，你就会发现，两个球之间还有20cm的距离，两个球还没相遇。
——————————————————————————————————
最后，如果说下，有种更简单，但不大严谨的思维方法，同样会得出无穷次的结论，没兴趣看我上面详细计算过程的话，可以看看这个。
因为狗被夹在甲乙之间往返跑，所以当甲乙相遇时，狗肯定也跟他们同时相遇。可是因为狗跑的比人快，所以无论狗与甲乙中的哪一方相遇时，甲乙中的另一方都还落在狗的后面，还没赶到。这样甲、乙、狗同时相遇的情况不可能发生，甲乙相遇也就不可能发生。在甲乙相遇前，狗就只能不停地来回来回无数次。

1100-65X4=800千米
840÷（65+75）=6
从整体考虑，甲乙相遇所用的时间是狗所用的时间，狗用了6分钟，即来回6次

此题目太不严谨，狗的速度怎么可能有每分钟150千米？人如果开车也达不到每分钟65、75千米！所以题目可以改为：

甲乙各从两地相对而行，这条路长1100米，甲每分钟走65米，乙每分钟走75米，甲走了四分钟后，乙才开始走，乙还带了一条狗，狗的速度是每分钟150米，狗跑向甲时又转头回到乙的地方，接着又跑向甲那边，如此来回，问，甲乙相遇后，狗来回了多少次？