韦达定理在三次方程中如何使用

2022-11-14 05:14

老师说,如果三次方程知道一个根,就可以用韦达定理求出另外两个根……怎么做呢？还有，如果有方法能不能推广至高次的方程呢？请各位教我！

4个回答

2022-11-14 10:07

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0来说，若它的两个根为x1、x2，则
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0来说，若它的三个根为x1、x2、x3，则
x1+x2+x3=-b/a
1/x1+1/x2+1/x3=-c/d
x1*x2*x3=-d/a
对于一元n次方程x^n+a1*x^(n-1)+……+an-1*x+an=0来说（式中a1、an-1、an的1、n-1、n为a的下标），若它的n个根为x1、x2、……、xn。则
x1+x2+……+xn=-a1
x1*x2+x1*x3+……+xn-1*xn=a2
x1*x2*x3+x1*x2*x4+……+xn-2*xn-1*xn=-a3

2022-11-14 09:28

1、方程若有两根，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；这个定理对解决这四个方面的问题有着不可替代的作用。

2、求与两根有关的代数式的值，用方程根与系数的关系求出两根之和两根之积，再用整体代换思想求值。

3、已知一根求另一根，采用韦达定理只需利用两根之积等于常数项除以二次项系数，就可以建立新方程，求出另一根。

4、已知对称式值求字母系数值，需要转化为关于a的方程；用韦达定理只需进行等量代换。

扩展资料

判别式为：

（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

性质：

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

2022-11-14 07:57

设三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0
三个根分别为x1,x2,x3,则方程又可表示为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,
即ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1*x2+x2*x3+x3*x1)-ax1*x2*x3=0
对比原方程ax^3+bx^2+cx+d=0 可知
x1+x2+x3=-b/a
x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a
x1*x2*x3=-d/a
x1，x2，x3是方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根

2022-11-14 07:31

简单计算一下即可，答案如图所示