数学:怎样区分必要条件、充分条件和充要条件？

两条件M和N，如果由M能推导出N，而由N推不出M，那么M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件，如果M能导出N而N也能导出M则M是N的充要条件，N也是M的充要条件

1.对充要条件的理解

对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.

(1)如果已知p q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成

x=y x2=y2

“x=y”是“x2=y2”的充分条件，

“x2=y2”是“x=y”的必要条件.

(2)如果既有p q，又有q p，就记作

p q.

这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.

例如，命题p：x+2是无理数，

命题q：x是无理数.

由于“x+2是无理数” “x是无理数”，所以p是q的充要条件.

2.从逻辑推理关系上看

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：

①若p q，但q p，则p是q的充分但不必要条件；

②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；

③若p q，但q p，则p是q的充要条件；

④若p q，且┒p ┒q，则p是q的充要条件；

⑤若p p，且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

3.从集合与集合之间关系上看

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则

①A B，则p是q的充分条件；

②若A B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A�B，且A�B，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.

4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.

(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：

①确定条件是什么，结论是什么；

②尝试从条件推结论，结论推条件；

③确立条件是结论的什么条件；

④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.

(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.

在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的

要条件　　如果能从命题p推出命题q,也能从命题q推出命题p
　　条件p是条件q的充分条件，条件q是条件p的必要条件
　　以上是从逻辑推理关系说明
　　我们也可以从元素、集合的角度看
　　集合A=集合B 则A是B的充分必要条件,简称充要条件
　　如果命题A是命题B的充要条件,那么命题B也是命题A的充要条件
　　“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.
　　简单的说就是在证p与q时,前面那个推出后面那个就是充分条件，后面那个推出前面那个就是必要条件，前面能推出后面后面也能推出前面就是充要条件.