极限的定义和性质

首先我们要抓住极限的定义：数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式｜Xn-a｜<ε都成立，那么a就是数列{Xn}的极限，或者数列{Xn}收敛于a。
从定义来看，A选项缺少n>N时｜Xn-a｜<ε都成立，反例（-1）^n也有无限项为1和-1。
B选项，明显把N=0了，我们定义只要求找到有限个N就可以，所以要求更高了。
C选项就对了，只有n =ε都成立,反过来说就是n>N时，不等式｜Xn-a｜<ε都成立。
D选项，就不说了。“可能”是什么东西，数学都是要精确的定义，不会出现模糊的概念。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。
　1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
　　2、有界性：如果一个数列’收敛‘(有极限)，那么这个数列一定有界。
　　但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
　　3、保号性：若 (或<0)，则对任何 (a<0时则是 )，存在N>0，使n>N时有 (相应的 )。
　　4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有 ，则 (若条件换为 ，结论不变)。
　　5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
　　6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限;数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。