初中数学难题（必须用初中知识做）

【分析】

设点P的坐标为（x0，y0），则根据函数图象上点的坐标特征知x0²+3y0²=4．首先，根据点A的坐标求得点B的坐标为（1，-1）；然后，利用三角形的面积公式S=1/2absinC列出等式1/2|PA|•|PB|sin∠APB=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN．即|PA|/|PM|=|PN|/|PB|；再根据两点间的距离公式求得|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|，即(3-x0)²=|x0²-1|，解得x0=5/3．易求y0的值。

【解答】

解：

∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称

∴点B的坐标为（1，-1）
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等

设点P的坐标为（x0，y0）
则：

1/2|PA|•|PB|sin∠APB

=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN

∵sin∠APB=sin∠MPN
∴|PA|/|PM|=|PN|/|PB|

∴|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|    

即:

(3-x0)²=|x0²-1|

解得：

x0=5/3

∵点P在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上
∴x02+3y02=4
∴y0=±√33/9

∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等

此时点P的坐标为（5/3，±√33/9）。