道教和道家哪个认为人可以修成‘长生不老’、‘白日飞升’的境界？或者都是误传？

是道教
道家仅仅是一个思想流派，虽然道家提倡清净无为、顺应自然，也有一些关于仙人或长寿之人的故事传说（《庄子》里有很多），但还并没有提出修炼长生不老的愿望和方法。
道教吸收了一些道家里的东西，并加了许多阐发。道家尊崇长寿，提出了许多修心养性，可以长生不老的方法。主要的有符箓、炼丹和修炼内丹三种。

是道教的，道家包括在道教里，是个正统学派。
不是误传，确实有这么回事。
古代真正的长生不老所指的并不是与天地同寿，也不是到死都保持鹤发童颜，那都是小说里杜撰的。最多，最好也就是让人看起来十分年轻，这就是道教的养生，很多很杂。
其次白日飞升，这个也不是假的。
飞升，没那么夸张，其次绝对不是一般人能飞升的，而且现在想飞升也绝对晚了。最简单的，你不能吃五谷杂粮，一旦吃了，再加上天赋不足，那就好好当自己的人吧，这是绝对困难的事情，不是说不可能，也不是说迷信，是一般人的可能性几乎为零。