循环论证的第五公设

第五公设（同平面内一条直线和另外两条直线相交，若某侧的同旁内角之和小于180°，则这两条直线在这一侧一定相交）可凳消以说是欧几里得几何公理系统里最富争议的一条公设了。由于它在《几何原本》中只用到过一次，很多数学家都在怀疑它是一个公设还是一条定理。为此，有无数人曾试图用另外九条基本命题来证明第五公设，或者用反证法。用反证法证明第五公设的人中最负盛名的是罗巴切夫斯基，他创始了罗氏几何。但用普通证明思路的人却罕有成就，因为他们的证明都是循环论证。现举几例：
1.一种证明思路是从如下的命题推出第五公设：锐角一边的垂线必与另一边相交。很显然，这个命题是第五公设的一个特例——在一组同旁内角中，一个是直角，另一个是锐角，其和显然小于180°，由此判定它们在这一侧相交，很明显是运用了第五公设。
2.另一种思路的根基是“至少存在一个内角和是180°的三角形”。这个命题似乎很明显了，但这毕竟不是一条公理，也不是一条定理。有人可能要问，难道这不是三角形内角和定理吗？是的，这条思路的巧妙性就键芹在于证明了这个命题是三角形内角和定理的等价命题。可是问题就在这里：三角形内角和定理的证明就是通过第五公设完成稿粗毕的，这也是一个循环论证。