n个平面最多可将空间分成多少个部分

n 个平面最多可将空间分成多少个部分 问题提出： 空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？ 问题分析： 显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1、 这n 个平面两两相交； 2、 没有三个以上的平面交于一点； 3、 这n 个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个 平面分空间的部分数为 n a ，易知 当 1 n 时， 2 n a ； 当 2 n 时， 4 n a 当 3 n 时， 8 n a 当 4 n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知 15 n a ； 从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当 n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条 直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成 n b 个部分，那么 当 3 , 2 , 1 n 时，易知平面最多被分为2，4，7 个部分。 当 k n 时，设k 条直线将平面分成了 k b 个部分，接着当添加上第 1 k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成 n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了 1 k 个区域，故得递推关系式 ) 1 ( 1 k b b k k ，即 1 1 k b b k k 显然当 1 k 时, 2 1 b ,当 1 , , 2 , 1 n k 时，我们得到 1 n 个式子： 2 1 2 b b 3 2 3 b b 4 3 4 b b …… n b b n n 1 将这 1 n 个式子相加，得 ) 2 ( 2 1 2 n n b n ，即 n 条直线最多可将平面分割成 ) 2 ( 2 1 2 n n 个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定 k b 与 1 k b 的递推关系，最后得出结论。 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k 个平面将空间分割成 k a 个部分，再添加上第 1 k 个平面，这个平面与前k 个平面相交有k条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第 1 k 个平面就被这k 条直线分割成 k b 个部分。 而这 k b 个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第 1 k 个平面后就把原有的空间数增加了 k b 个部分。由此的递推关系式 k k k b a a 1 ，即 k k k b a a 1 当 1 , , 2 , 1 n k ，时，我们得到如下 1 n 个关系式 1 1 2 b a a 2 2 3 b a a …… 1 1 n n n b a a 将这 1 n 个式子相加，得 ) ( 1 2 1 1 n n b b b a a 因为 ) 2 ( 2 1 2 n n b n ， 2 1 a 所以 n a ) 2 ( 2 1 ) 2 2 2 ( 2 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 2 2 2 n n =2+ ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( 2 1 ( 2 1 2 2 2 n n n = n n n n n n ) 1 ( 2 1 ) 1 2 ( ) 1 ( 6 1 2 1 1 = ) 1 ( ) 1 ( 6 1 1 n n n n = 6 6 5 3 n n 问题的解：由上述分析和推导可知，n 个平面最多可将平面分割成 ) 6 5 ( 6 1 3 n n 个部分。 巩固练习： 1、①平面上3 条直线可将平面分成几个区域？ ②空间3 个平面可将空间分成几个部分？ ③空间5 个平面最多可将空间分成几个部分？