为什么从“猴子分桃子”谈起？

2023-09-06 08:10

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2023-09-06 11:16

海滩上有一堆桃子，这是五个猴灶灶子的财产，它们要平均分配。第一个猴子来到海滩，它左等右等，未等来别的猴子，便把桃子平均分成五堆，还剩一个，它就把剩下的一个扔到海里，自己拿起了5堆中的一堆。第二个猴子来了，它把剩下的喊辩游桃子分成五堆，把剩下的一个又扔掉了，然后拿起一堆。以后每个猴子来了都是如此办理，问原来至少郑销有多少个桃子？最后海滩上至少剩下多少桃子？这就是著名的猴子分桃子问题。著名的英国物理学家狄拉克曾提出了一种解法，相当巧妙地解决了这个问题。

设原来桃子N个，而五个猴子分得的桃子数分别为A1，A2……A5，则得到

N=5A1＋1

4A1=5A2＋1

4A2=5A3＋1

4A3=5A1＋1

4A4=5A5＋1

经过一系列的代换，就可以得到N=3121，4A5=1020

其实这个答案是受到问题中“至少”这一前提限制而得到的，如果不考虑“至少”这个条件，符合前面关系式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。

但是使人感兴趣的不在于所得答案的多少，而是在于这类问题是怎样解出的，原来“猴子分桃子”就是这样的一个数学问题，若A0=N，A1=15（N-1），5An＋1=4An-1

求An

解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1

两式相减得：5（An＋1-An）=4（An-An-1）

令Bn=An＋1-An则有：Bn=45Bn-1

因此：

An=（An-An-1）+（An-1-An-2）+……+（A2-A1）+A1

=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1

=1-（45）n-11-45B1+A1

=5B1［1-（45）n-1］+A1

又由于A1=15（N-1）

A2=15［45（N-1）-1］

则B1=A2-A1=-125（N+4）

于是：An=-15（N+4）［1-（45）n-1］+15（N-1）

=-1+4n-15n（N+4）

特别是当n=5时，有55（A5+1）=44（N+4）。由于5与4互质，则N+4必为55的整数倍，即N+4=55·P（P∈Z），同时A5+1=44·P令P=1即可求出前面的结果。

从上面的解法，我们看到，如果给定了必须的数列｛an｝的前几项，再由给定的关于数列若干连续的关系式，就可以由关系式推出一个新数列。因此，我们把这种关系式叫数列的逆推公式，由逆推公式得到的这种数列叫作逆归数列。逆归数列由于逆推公式的不同，因此求它的通项的方法也比较复杂。“猴子分桃子问题”在研究逆归数列上确实起到了开路先锋的作用。