二次函数极值
函数值和极限值有什么不同
函数值,是指自变量取一定值时,对应的因变量的取值.
极限值是指,自变量趋近某特定值时,因变量趋近的值.
两者是有区别的,
趋近的值不一定是函数值,甚至在此点函数是没有定义.
例如:
f(x)=sin(x),
人为挖去一个点(0,0),构成一个新函数g(x)
g(x)在x趋近0时的极限值是0,但是是没有定义的,
再进一步,
定义g(0)=8(可以使任意非零实数),
则函数g(x)在0处的极限值和函数值不等.
不知道我说明白了没,
极限值是指,自变量趋近某特定值时,因变量趋近的值.
两者是有区别的,
趋近的值不一定是函数值,甚至在此点函数是没有定义.
例如:
f(x)=sin(x),
人为挖去一个点(0,0),构成一个新函数g(x)
g(x)在x趋近0时的极限值是0,但是是没有定义的,
再进一步,
定义g(0)=8(可以使任意非零实数),
则函数g(x)在0处的极限值和函数值不等.
不知道我说明白了没,
函数的极值与最值有什么区别?
关于极值的精确定义,大致有两处是可以存在争执的。这里,将以下极小值的定义作为标准格式,函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 的 [公式] ,有 [公式] 。现在,我们可以说:
首先,若 [公式] 的定义域存在端点 [公式] ,则上述定义使得 [公式] 永远不可能在 [公式] 点处取到极值。这样,我们考虑函数 [公式] 在整个定义域上的最值时,就必须说 [公式] 的最值可能在极值点或端点处取得;因此,一些人认为可以将“对于所有满足 [公式] 的 [公式] ”替换为“对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ”,这样,对于 [公式] 定义域的某个端点 [公式] ,只要 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 的某个邻域上“ [公式] 有定义的点”中的最小值,就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值,比如考虑区间 [公式] 上的函数 [公式] ,依照这个定义就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值。这么说的好处在于函数的最值永远是极值,但是缺陷在于不能直接说可微函数的极值总在驻点处取得了——现在只有在定义域是 [公式] 上的开集时,这个定理才成立。
其次,原始定义不令人满意的地方还有它将常数函数每一点都当作极值处理了。为了避免这样的处理,一些人建议将极值的定义条件改为在去心邻域上满足严格序关系,也就是说将“ [公式] ”这部分替换为“若 [公式] ,则 [公式] ”,也就是题主所说的不取等号的定义。当然,这么改也是有争议的,因为比如考虑常数函数,一般我们还是接受常数函数在每一点都取到最值的,因此如果接受上述更为严格的极值定义,就会出现在函数在既不是极值也不是端点的点取到最值的特殊情况,而那些处理最值和极值的定理就会出现一些额外的特例。同时,还会有其他更为特殊的函数,比如 [公式] 这样在 [公式] 一侧取值为常数而另一侧不是的,那么它是否在 [公式] 处取到极值依然是一个值得商榷的问题。
这样来说,基于对于问题1和问题2的不同选择,能够写出一共四种不同的极限定义,这四种中很难说哪种是绝对的主流,因而在教材中看到哪种都不应该奇怪。
依我个人的喜好,其实最倾向于最为宽松的定义方式,也就是说在问题1中选择修改,在问题2中选择不修改,也就是函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ,有 [公式] 。这样选择的原因在于考虑了对于更为普遍的情况,即对从任意拓扑空间到任意全序集的函数定义极值的情况。考虑函数 [公式] ,其中 [公式] 是拓扑空间, [公式] 是全序集,那么我们可以定义 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 的开邻域 [公式] 满足对于所有 [公式] ,有 [公式] 。这里无法区分 [公式] 在与不在端点的情况,因为拓扑空间本身就无法区分这一点:考虑区间 [公式] 作为 [公式] 的子拓扑空间,则 [公式] 在该拓扑空间中同样有形如 [公式] 的开邻域,尽管 [公式] 在母空间总并非开集,但单纯对于子空间 [公式] 来说它也是和 [公式] 一样的开区间。
另外,拒绝问题2中的修改的原因在于,若应用在更一般的空间中,比如考虑从 [公式] 到 [公式] 的集合,那么严格序关系的要求就显得过于苛刻了。比如说,考虑多元函数 [公式] ,它在 [公式] 轴正方向上取常数 [公式] ,但在其他方向的截面上 [公式] 都是函数的极小值点。如果使用去心邻域上的严格序关系定义,因为 [公式] 任何一个去心邻域一定包括 [公式] 轴正方向的一段,则点 [公式] 无法被称为 [公式] 的一个极小值点。这样仅仅因为 [公式] 轴正方向的缘故将 [公式] 从定义中排除,难免显得有点过分咬文嚼字。
当然,若是单纯考虑实函数的情景,则两个问题上的各自两种选择都算是各有好坏,所以难免看到选择其中任意一种定义的教材/文本。在这样的情况中,只要选择依照给定的定义为准,如上文对定义之间区别所说的那样对自己平时认知中的极值额外排除/包括一些特例,就可以正常地使用文本中的定义去理解后续的内容的。
首先,若 [公式] 的定义域存在端点 [公式] ,则上述定义使得 [公式] 永远不可能在 [公式] 点处取到极值。这样,我们考虑函数 [公式] 在整个定义域上的最值时,就必须说 [公式] 的最值可能在极值点或端点处取得;因此,一些人认为可以将“对于所有满足 [公式] 的 [公式] ”替换为“对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ”,这样,对于 [公式] 定义域的某个端点 [公式] ,只要 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 的某个邻域上“ [公式] 有定义的点”中的最小值,就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值,比如考虑区间 [公式] 上的函数 [公式] ,依照这个定义就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值。这么说的好处在于函数的最值永远是极值,但是缺陷在于不能直接说可微函数的极值总在驻点处取得了——现在只有在定义域是 [公式] 上的开集时,这个定理才成立。
其次,原始定义不令人满意的地方还有它将常数函数每一点都当作极值处理了。为了避免这样的处理,一些人建议将极值的定义条件改为在去心邻域上满足严格序关系,也就是说将“ [公式] ”这部分替换为“若 [公式] ,则 [公式] ”,也就是题主所说的不取等号的定义。当然,这么改也是有争议的,因为比如考虑常数函数,一般我们还是接受常数函数在每一点都取到最值的,因此如果接受上述更为严格的极值定义,就会出现在函数在既不是极值也不是端点的点取到最值的特殊情况,而那些处理最值和极值的定理就会出现一些额外的特例。同时,还会有其他更为特殊的函数,比如 [公式] 这样在 [公式] 一侧取值为常数而另一侧不是的,那么它是否在 [公式] 处取到极值依然是一个值得商榷的问题。
这样来说,基于对于问题1和问题2的不同选择,能够写出一共四种不同的极限定义,这四种中很难说哪种是绝对的主流,因而在教材中看到哪种都不应该奇怪。
依我个人的喜好,其实最倾向于最为宽松的定义方式,也就是说在问题1中选择修改,在问题2中选择不修改,也就是函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ,有 [公式] 。这样选择的原因在于考虑了对于更为普遍的情况,即对从任意拓扑空间到任意全序集的函数定义极值的情况。考虑函数 [公式] ,其中 [公式] 是拓扑空间, [公式] 是全序集,那么我们可以定义 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 的开邻域 [公式] 满足对于所有 [公式] ,有 [公式] 。这里无法区分 [公式] 在与不在端点的情况,因为拓扑空间本身就无法区分这一点:考虑区间 [公式] 作为 [公式] 的子拓扑空间,则 [公式] 在该拓扑空间中同样有形如 [公式] 的开邻域,尽管 [公式] 在母空间总并非开集,但单纯对于子空间 [公式] 来说它也是和 [公式] 一样的开区间。
另外,拒绝问题2中的修改的原因在于,若应用在更一般的空间中,比如考虑从 [公式] 到 [公式] 的集合,那么严格序关系的要求就显得过于苛刻了。比如说,考虑多元函数 [公式] ,它在 [公式] 轴正方向上取常数 [公式] ,但在其他方向的截面上 [公式] 都是函数的极小值点。如果使用去心邻域上的严格序关系定义,因为 [公式] 任何一个去心邻域一定包括 [公式] 轴正方向的一段,则点 [公式] 无法被称为 [公式] 的一个极小值点。这样仅仅因为 [公式] 轴正方向的缘故将 [公式] 从定义中排除,难免显得有点过分咬文嚼字。
当然,若是单纯考虑实函数的情景,则两个问题上的各自两种选择都算是各有好坏,所以难免看到选择其中任意一种定义的教材/文本。在这样的情况中,只要选择依照给定的定义为准,如上文对定义之间区别所说的那样对自己平时认知中的极值额外排除/包括一些特例,就可以正常地使用文本中的定义去理解后续的内容的。
怎么判断一个函数的极大值极小值
①首先确定函数定义域。
②二次函数通过配方或分解因式可求极值。
③通过求导是求极值最常用方法。
f'(x)=0,则此时有极值。
>0为↑
<0为↓
判断是极大还是极小值。
例如:
①求函数的二阶导数,将极值点代入,二级导数值>0
为极小值点,反之为极大值点
二级导数值=0,有可能不是极值点;
②判断极值点左右邻域的导数值的正负:左+右-
为极大值点,左-右+
为极小值点,左右正负不变,不是极值点。
极大值和极小值
也可以为集合定义极大值和极小值。一般来说,如果有序集S具有极大的元素m,则m是极大元素。此外,如果S是有序集T的子集,并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素,则m是T中S的极小上限。类似的结果适用于极小元素,极小元素和极大的下限。
在一般的部分顺序的情况下,极小元素(小于所有其他元素)不应该与极小元素混淆(没有更小)。同样,部分有序集合(poset)的极大元素是集合中包含的集合的上限,而集合A的极大元素m是A的元素,使得如果m≤b(对于任何b在A)然后m = b。
怎么判断一个函数的极大值极小值
方法有很多
①首先确定函数定义域
②二次函数通过配方或分解因式可求极值。
③通过求导是求极值最常用方法。
f'(x)=0,则此时有极值。
>0为↑
<0为↓
然后判断是极大还是极小值。
①首先确定函数定义域
②二次函数通过配方或分解因式可求极值。
③通过求导是求极值最常用方法。
f'(x)=0,则此时有极值。
>0为↑
<0为↓
然后判断是极大还是极小值。
怎样判断函数的极值是极大值还是极小值
只用一阶导数就可以判断了。
查看在极值点左右邻域的一阶导数的正负,
如果是左正右负,则为极大值;
如果是左负右正,则为极小值。
查看在极值点左右邻域的一阶导数的正负,
如果是左正右负,则为极大值;
如果是左负右正,则为极小值。
极限值等于函数值吗?
对于连续函数定义域内的点来说,极限值就是它的函数值;反之,函数值就是它的极限值。
函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义;一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等,只有区间端点,是单侧极限。
一般来说,极限值与函数值没有直接关系。在一点处的极限值是否存在于在那一点的函数值是否有定义是没有关系的。但若函数在那一点是连续的话,则在那一点处的极限值与他的函数值是相等的 。
一个函数在某点的极限和它在此点的函数值无关,而与在它附近的函数值有关,只要它附近的点距离此点距离趋于0时,函数值趋于一个常数就有极限函数在此点连续时极限值与函数值恰好相等。
函数的极值与极限有什么区别
区别非常大。它们没有关联。
极值,是函数性质;是函数在部分区间上的最大值或最小值;是函数值域里的数。函数可能多个自变量取得同一个极值。
极限,是一种运算;是当自变量无限趋于某一个数x0时,函数无限趋于一个确定值。这个确定值可能不是函数值域的数。换言之,函数可能在x0无意义。
例如,f(x)=(x^3-1)/(x-1),
x→1limf(x)=lim(x²+x+1)=3,极限是3.
化简f(x)= x²+x+1,x≠1,有f(x)≠3。又x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≥3/4,
函数值域是[3/4,3)∪(3,+∞)。
可见3不是值域的数。
易知f(x)极小值=3/4,它是值域的数。
极值,是函数性质;是函数在部分区间上的最大值或最小值;是函数值域里的数。函数可能多个自变量取得同一个极值。
极限,是一种运算;是当自变量无限趋于某一个数x0时,函数无限趋于一个确定值。这个确定值可能不是函数值域的数。换言之,函数可能在x0无意义。
例如,f(x)=(x^3-1)/(x-1),
x→1limf(x)=lim(x²+x+1)=3,极限是3.
化简f(x)= x²+x+1,x≠1,有f(x)≠3。又x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≥3/4,
函数值域是[3/4,3)∪(3,+∞)。
可见3不是值域的数。
易知f(x)极小值=3/4,它是值域的数。
函数的极限值与函数值有什么关系? 如题
当函数在一点连续的时候,函数在这点的极限值等于函数值.所以x→x0limf(x)=f(x0).
当函数在一点间断的时候,函数在这点的极限值不等于函数值.所以x→x0limf(x)≠f(x0).
特别注意:1.函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义.
2.一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等.只有区间端点,是单侧极限.
当函数在一点间断的时候,函数在这点的极限值不等于函数值.所以x→x0limf(x)≠f(x0).
特别注意:1.函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义.
2.一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等.只有区间端点,是单侧极限.
函数极限值,和函数极限,有什么关系?
当函数在一点连续的时候,函数在这点的极限值等于函数值。所以x→x0limf(x)=f(x0)。
当函数在一点间断的时候,函数在这点的极限值不等于函数值。所以x→x0limf(x)≠f(x0).
特别注意:1。函数在一点有极限与这点是否有定义无关。但是函数在这点的邻域一定要有定义。
2。一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等。只有区间端点,是单侧极限。
当函数在一点间断的时候,函数在这点的极限值不等于函数值。所以x→x0limf(x)≠f(x0).
特别注意:1。函数在一点有极限与这点是否有定义无关。但是函数在这点的邻域一定要有定义。
2。一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等。只有区间端点,是单侧极限。
多元函数极值如何判断极大和极小值
如果是应用题..就是所求的点..如果其他..你可以把驻点和端点代进去比较
既然求出了..哪个函数值大哪个不就是极大值点了吗.另一个不就是极小值点了..当然也有可能不是极值点..这种情况少见..一般不出这样的
既然求出了..哪个函数值大哪个不就是极大值点了吗.另一个不就是极小值点了..当然也有可能不是极值点..这种情况少见..一般不出这样的
热门问答
- 1谁能介绍一些欧美的摇滚乐队,歌曲要有好听有节奏感,不出名的乐队也可以~
- 2冰箱是什么?
- 3天龙中段延庆为何要成全虚竹,帮助虚竹成为顶尖高手?
- 4混凝土搅拌运输车怎么找活
- 5女子的拼音声调?
- 6求关于珍惜时间的相声或小品
- 7在贵阳市区,你可以吃到什么类的美食?
- 8细菌也可爱 阅读答案《细菌也可爱》
- 9不管我怎么气我男朋友,他为什么都不生气呢?
- 10跪求蜡笔小新剧场版:呼风唤雨!猛烈!大人帝国反击战
- 11即使我还爱你 但在不在一起已经不重要了留最后一点回忆就好了英语怎么说
- 12老鹰乐队的主唱是谁?
- 13推理的书
- 14为什么好好的一句话,从他们的嘴里就变味了,怎样看清一个人?
- 15什么是歌特
- 16一平尺多大?
- 17想买一本关于it行业成功人士历程的书,有知道的介绍几本吧,谢谢!
- 18大明宫词的这两段台词分别在第几集?
- 19实力包含哪些部分?什么叫实力?
- 201.崔万志的成就与他的人生目的、人生态度、人生价值有什么关系?
- 21轻音少女~相遇天使钢琴谱~
- 22书画作品的1平尺是多少?
- 23奇迹魔剑士穿什么装备好
- 24《名侦探柯南》中的冲矢昂到底是谁啊?
- 25脚骨折10天了,摸骨折的地方会痒,是怎么回事?
- 26求,战场女武神片头曲和片尾曲,谢谢!
- 27喜气洋洋的意思?
- 28"精神层面"什么意思
- 29见过世面的女孩子,是怎么谈恋爱的?
- 30请通俗解释佛教里的圆通
相关搜索
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 安泰翡翠城相声全集
- 爱哭的相声演员
- 爱相声爱剪辑
- 艾灸项目
- 安丘评书
- 安清音在世否
- 啊还halo
- 阿城二人转剧
- 安徽琴书名家唐洪名
- 澳洲相声大师揭秘人生幸福
- 安徽琴书白陵记
- 安徽大鼓小段
- 阿哲说评书
- 阿城欢乐二人转
- 爱的就是你二人转版
- at英语怎么读
- 安徽地方琴书
- 安国市伍仁村敲大鼓
- 安微利辛清音戏陆彩侠
- 爱剪辑的相声
- 阿拉丁神灯相声完整版
- 鞍山市评书繁荣书社
- 安家里的相声演员
- 奥克斯之恋钢琴书
- 安徽舒城胡琴书侯美记
- 安全感文艺宣传快板
- allure丶南音的微博
- 安徽大鼓污染反弹全集
- 阿迪达斯相声
- 爱护环境从我做起的相声
- 砭石颜色英语启蒙
- 斑马英语启蒙音乐
- 宝贝英语启蒙歌曲
- 宝宝英语启蒙天气
- 宝岁启蒙英语
- 宝贝启蒙学英语
- 宝宝启蒙英语夏天
- 八年级下册英语7单元重点句子
- 保定幼儿英语启蒙
- 宝贝启蒙英语拼读
- 北京专科英语考试考什么
- 爸爸英语启蒙叽里呱啦
- 布迪英语启蒙
- 伴龙英语启蒙
- 宝典训练六年级英语
- 表达心情启蒙英语
- 布鲁斯英语六年级上册
- 宝宝启蒙英语冰淇淋
- 八年级上英语m7词组
- 变色大象英语启蒙
- befat英语启蒙歌
- 八年级英语下删m7
- 宝宝英语启蒙厦门
- 帮初三学生补英语语文的软件
- 贝达少儿英语和51talk哪个好
- 宝鸡小学六年级英语
- 宝宝狗狗启蒙英语
- 博山英语启蒙
- 八年级上册英语8单元句子
- 八年级下册英语9单元听写
- 称赞
- 扯闲工作坊花絮
- 彩云之南音乐原版完整版
- 唱老回杯的二人转演员李
- 传统相声情景剧关公战秦琼
- 陈劳斯相声
- 唱童话的相声
- 曹云金另类相声小生采访
- 初一语文课本 人教版
- 初一英语辅导资料大全
- 春节联欢晚会上的相声
- 初一数学几何公式大全
- 陈涛阅读
- 初一数学上学期知识点
- 初一数学基础知识点总结
- 串门相声小品
- 初一上册数学定义
- 成长的烦恼相声完整版
- 承德二人转演员小黄飞
- 刺客信条相声
- 曹随风的相声完整版全集
- 潮汕著名快板
- 初一数学上册第二章知识点
- 初二期中复习
- 畅销的儿童故事
- 纯种东北大鼓
- 穿越成为一个相声
- 成人口语学习网站
- 促进相声复苏
- 乘车安全快板词
- 大佬你的娇妻已重生有声书
- 大女主女强
- 斗罗大陆第二部小说有声
- 大秦不装了你爹我是秦始皇
- 大斌有声小说狗一样的江湖
- 大灰狼最近演播什么有声书
- 大明风华小说有声
- 狄仁杰黑狐奇案有声书
- 东北往事之黑道风云20年年第二部小说有声
- 大奉打更人有声书版权
- 大唐观贞第一纨绔有声小说
- 盗妃天下有声小说免费听
- 斗罗大陆游戏有声小说
- 斗罗大陆魔女本色有声小说
- 大漠情深有声小说
- 都市最强装b系统t有声小说
- 都市之开局获得一颗星球
- 都市风流泡妞有声书
- 东北刘勇有声小说
- 都市少年医生
- 第一女婿叶云辰有声小说
- 盗墓笔记有声小说周建龙第6部
- 斗破苍穹有声小说免费听书阁
- 电梯科长有声读物
- 狄青演义林劲粤有声小说
- 单田芳免费
- 多人有声小说诛仙
- 盗墓秘录有声书
- 大主宰有那个有声小说
- 点天灯有声小说在线免费收听
- 二人转荤段子大全的文章
- 二人转居大刚
- 儿童最权威钢琴书
- 二人转大戏书
- 二人转服务员与演员吵架
- 二人转韩子平张廷秀赶考
- 二人转小帽付莲英
- 鳄语评书大全
- 二人转王玉洁监斩李世民
- 二人抬着大鼓
- 二人转影星
- 二人转平时在综杨几
- 二人转演员杨树林简历
- 二人转有
- 二人相声2021
- 儿童相声基础
- 二人转神雕大林演唱
- 二人转夜审西门庆
- 二人转绣麟
- 二人转二柱孑贺美令
- 二人转不孝儿女第1集
- 二人转男人是钥匙女人是锁
- 二人转演员唐鉴军简介
- 二人转杜十娘实
- 二人转锯大缸郑美玲
- 二人转肥仔
- 二人转版流行歌曲文章全集
- 二人转大鼓大杂烩
- 二人转版谁把苦酒敬月光
- 二人转刘公案
- 复合微生物肥料环评书
- 冯涛二人转喜马拉雅
- 非遗南音何秀碧
- 房地产开发快板词
- 藩道梅大鼓
- 封神演义评书目录
- 飞燕归南音乐
- 仿写藏戏作文鼓词
- 范军相声趣谈五大名旦
- 反派相声
- 返场相声小段欣赏
- 非常了得道士相声
- 非常快的快板
- 樊梨花评书26集
- 范正伟相声全集
- 腹语相声地名学
- 汾河湾相声台词岳云鹏
- 非常了得赵本山相声
- 佛教两人快板
- 冯阔洋最新相声
- 非你莫属相声聚美优品
- 福安说书软件
- 福清音西单身公寓
- 放一个那个二人转
- 府文庙南音热线
- 冯四唱二人转十三不亲
- 樊登说书直播
- 方清平相声住高楼
- 返场相声小段完整版
- 冯照洋于谦郭德纲最新相声
- 钢琴大师游戏
- 高三励志标语16字
- 关于戏曲的作文800字
- 高中英语单词表3500词 人教版
- 关于狐狸面具
- 郭巨埋儿的故事
- 管理者的英文单词
- 关于节奏的作文
- 高考英语的完型填空
- 关于仓央嘉措的
- 关于心理健康课的心得体会
- 关于人生的经典语录长句
- 关于荷花的优美诗句
- 盖世帝尊免费
- 国企面试问题及技巧
- 高考历史小论文模板
- 个人赴美国旅游签证
- 高中化学相关书籍
- 关于青春的唯美句子励志
- 顾长卿和温蔓小说免费阅读无弹窗
- 高考生物生物技术实践
- 高情商问题
- 故宫里的大怪兽的思维导图
- 高考英语听说app
- 隔岸歌曲原唱完整版
- 关于孔子和孟子的成语故事
- 古诗里起名字
- 关于戏曲文化的知识资料
- 高考励志激励
- 广西旅游记
- 洪江市小学英语配音
- 黑白翻转英语四级
- 会计英语四级单词
- 欢迎来参观小学的英语
- 合理安排时间小学英语
- 华师附中3年级英语单词大全
- 横村小学英语
- hat 听力
- 好卷科普版3年级英语下册
- 沪教3年级英语句子排列
- 沪教版小学英语thirsty
- 海曙高桥小学英语
- 沪教版小学英语weather
- 沪小学二年级下册英语
- 湖州小学英语考编
- 呼和浩特万锦小学英语
- 会计专业考教资小学英语
- 哈尔滨幼儿英语家教
- 海底世界幼儿英语
- 邯郸美食小学英语
- 花豹听力
- 淮海路小学英语微课
- 湖南大专小学英语
- 沪教版英语3年级下册录音
- 黄冈小学学什么内容英语
- 环球英语四级作文
- 寒假英语日记小学带翻译
- 沪教五年级英语
- 黑布林小学b级3英语阅读音频
- 花样早餐儿童早教英语
- 介绍老家的快板
- 久哥和他的相声
- 讲相声的侯震
- 金霏晨曦相声小品大赛
- 济南最火相声园子
- 京东大鼓三弦定音
- 金霏相声数学
- 贾志明最新的相声
- 济南站电音节
- 家有仙嫂评书
- 吉祥相声小百科
- 金星小说评书
- 教育孝顺的快板
- 京东大鼓走亲戚文本
- 交大相声博士参加的节目
- 给相声社团的段子
- 晋江二人转
- 吉他单弦最好听的曲子
- 今天我当家相声
- 金昕相声演员
- 健康歌二人转
- 加拿大人中国相声
- 郊县二人转
- 极品新娘评书
- 经典搞笑爆笑相声合集
- 贾旭明张康相声还钱
- 贾冰唱歌相声
- 经典相声词语
- 姜昆相声被吐槽
- 锯大缸二人转
- 快板万里长城万里长
- 科学解说
- 快板夸扇子
- 快板小作文
- 快板音乐节目串词
- 快板舞蹈表演8人播放
- 考级舞蹈小鼓大鼓
- 快板装修房子好或是布好
- 口才演讲训练机构
- 快板的打法第五节课
- 快板花板表演大全
- 快板60岁女人
- 快板大全数九寒天
- 快板唱歌样样精通
- 开心麻花相声大全最新
- 快板书千锤百炼
- 快板打节拍教学
- 快板水饺叫卖
- 抗洪凯歌快板书
- 快板词形容策划部
- 口才快板教程
- 快板菜单
- 快板双锁山高凤山
- 快板文化的起源
- 快板夸赞老师好台词
- 快板训练放风筝
- 夸生产企业的快板词
- 开店创业赚钱吗
- 快板剧本名称
- 宽待他人善待自己快板词
- 辽宁高考英语140分
- 辽宁高考英语试卷组成
- 辽宁高考英语新分值
- 刘老师英语进阶高考
- 龙岩高考英语听力
- 李阳突破高考英语
- 历年全国高考英语试卷
- 辽宁2023高考英语卷
- 辽宁英语高考常见词汇
- 李易峰高考英语
- 临沂高考英语难吗
- 老师点评高考英语作文
- 辽宁高考英语甲卷
- 莱州高考英语听力
- 立学立德英语高考
- 临近高考怎么提高英语
- 历届北京高考英语作文
- 来川高考英语范文
- 历届高考作文英语
- 辽宁2018高考英语word
- 临近高考现象英语作文
- 利弊的意思英语高考
- 辽宁高考不考英语吗
- 辽宁2018届高考英语
- 历年广东高考英语听说
- 劳动最美英语北京高考
- 辽宁新高考英语2022
- 辽宁高考英语a卡
- 历年高考江苏英语
- 丽江高考英语作文范文
- 毛阿敏经典歌曲欣赏
- 没有你陪伴感觉好孤单
- 墓地森林
- 蜜桃app下载
- 免费听名著
- 名爵汽车口碑好不好
- 免费下载赞美诗歌1218首
- 米小圈封神演义免费听
- 魔兽剑圣异界纵横听电台小说免费阅读
- 免费存储视频的软件
- 魔帝归来当女婿
- 免费听的儿童睡前故事
- 茉莉花 图
- 美食供应商小说
- 猫和老鼠观看免费
- 免费经典收听栾蒲包与丰泽园
- 免费唱歌
- 明教教主小说
- 美丽神话传说
- 猫语大全
- 名著经典作品
- 民宿需要
- 孟姜女哭长城 的故事
- 摩诃朱拉隆功大学
- mc小仙儿
- 民间故事还有哪些故事
- 免费音乐铃声在线下载
- 梦想成真by才不是二哈
- 麦小米的100个烦恼在线听电子书
- 民间游戏跳皮筋玩法
- 逆袭的青春
- 孽债第二部全集播放
- 暖风不及你情深未删减车
- 女强穿越小说玄幻
- 你来的正是时候徐千雅唱的歌
- 男生说自己社恐
- 女反派变身
- 哪个网站听评书免费
- 南知意帝释景小说免费阅读
- 念诵大悲咒功德
- 女娃补天
- 女主姓楚的重生小说
- 农历星座表
- 哪里的汝窑正宗
- 哪个网站能看雪中悍刀行全集
- 女生日记之
- 女士夏季瑜伽裤
- 女人正能量音乐纯音乐
- 女生高情商的说早安
- 南京理工大学专科
- 女人与狗的小说
- 南山南是分手的意思吗
- 你做了我梦里的人简谱完整版
- 南宁地图全图高清版
- 暖暖的幸福免费全集
- 女朋友的睡前故事笑话
- 牛郎织女的小古文朗读
- 女生爱自己
- 逆剑狂神在线阅读
- 南昌百花洲电影院
- 欧布奥特曼特曼
- 欧迪玛
- oracleDBA入门
- 欧布奥特曼赛罗
- 欧布奥特曼第二季
- 欧阳雨曼暑假作业
- OracleOCP
- 欧布奥特曼的cp
- 欧布奥特曼原生之初中文版
- 欧珠朗诵平台
- 欧布奥特曼中文版国语
- 欧母画荻
- OLO卖出流程
- 欧布奥特曼欧布奥特曼
- 偶尔的小伤感
- 欧布奥特曼之原生之初中文版
- ok配音网
- 欧洲神话
- 偶尔的小任性
- 欧布奥特曼啊
- Ok伪主播
- 欧美围棋介绍
- OK音乐
- OzCow纯净牛奶
- 欧布奥特曼全集中文版
- 欧布奥特曼凯
- 欧美思国际英语
- 欧布奥特曼下载
- 欧布奥特曼所有形态
- 欧布奥特曼2
- pep三年级上册英语微课
- 平板上学三年级英语的软件
- pep三年级上册英语趣味作业
- pep三年级英语双减作业
- 平遥县三年级上册英语
- pep英语三年级上册课文朗读
- pep小学英语三年级上册句子
- pep三年级小学生英语
- pep小学三年级上册英语进度
- pap三年级上册英语听力
- pep三年级英语下册 小E
- pep三年级英语下册单词手写
- pep三年级英语下册期中复习
- 培优补弱记录三年级英语
- 普通人教版三年级英语
- pep三年级英语下册单词听力
- 葡萄怎么读三年级下册英语
- 彭诚课堂三年级下册英语
- pep三年级上册英语语法
- 跑步的好处英语作文三年级
- 盘龙区三年级上英语听力
- pep三年级上英语导学案
- pep三年级下册英语短语表
- pep三年级下英语总复习
- pep小学英语听力三年级
- pep三年级上册一单元英语
- pep人教版英语三年级上册28
- pep三年级英语p52
- pep三年级英语下单词默写
- 苹果英语三年级上册怎么读
- 秦霄贤栾云平相声完整
- 琴书王桂银
- 情绪转变相声
- 琴书棋成语
- 勤俭节约谱新篇快板串词
- 祁东渔鼓美人
- 敲大鼓表演场面作文
- 琴书周银侠的直播
- 清音弟子班国际商务
- 乔思憬秦南音小说
- 倾国郑小莫说书包
- 巧虎游唱大鼓小鼓
- 祁东渔鼓戏三姑记第三集
- 琴书王道兰的专辑
- 泉州南音艺苑演出名称
- 琴书九姐大出嫁7
- 琴书江宁府下部
- 祁东肖三友渔鼓直播
- 清音戏三个媳妇害婆婆
- 秋收感恩节快板大全
- 企业环评书如何办理
- 琴书演员满平
- 黔西沙井吹唢呐打大鼓
- 清音发浊音
- 青年相声演员陈印泉
- 青梅煮酒相声
- 祁东渔鼓邹华春老婆
- 清音的唯美句子
- 谦祥益原生态相声专场
- 清明安全快板词
- 日军作战有声小说
- 弱女修仙传有声小说
- 人渣反派系统有声书完结
- 如何获取有声小说版权
- 入戏有声书
- 认识神巴刻有声书
- 日本有声小说悬疑推理侦探
- 人性的弱点有声书版权
- 人民的正义有声书
- 入赘小道士
- 软玉生香有声书
- 人至贱则无敌有声小说懒人
- 人间猎场有声小说
- 如果历史是一群喵4
- 如果有来生有声小说
- 任京浩有声小说无限未来
- 热烈有声书收听
- 日本轻小说有声小说
- 人生最美的岁月有声小说
- 入仕有声小说71在线收听
- 人生命运天注定有声书
- 人体的故事有声书
- 人鬼神魔有声小说
- 热爱的人生有声小说
- 让数字说话
- 人皮论语有声书
- 如何做有声书兼职
- 人教版小学英语pep
- 日语恐怖有声小说
- 热搜榜有声小说
- 适合小学生的英语词汇
- 适合小学生路上听的英语
- 适合小学生锻炼的英语口语
- 暑假小学生英语家教怎么做
- 适合小学生看的英语小短文
- 什么是中小学生英语
- 适合小学生说唱的英语歌
- 宿迁小学生学英语去哪里学
- 适合小学生的盲听英语软件
- 生日快乐歌英语小学生唱
- 石家庄小学生学英语口语
- 什么是小学生的英语阅读能力
- 适合小学生的有声英语读物
- 时候小学生听的车载cd英语
- 适合12岁小学生看的英语
- 适合小学生听的英语故事软件
- 适合小学生英语单词背诵神器
- 寿光哪里有教小学生英语的
- 三只狐狸英语故事小学生
- 适合小学生看的英语句子
- 适合小小学生的英语歌
- 时光学小学生每日五个英语
- 四级英语作业范文小学生
- 适合教小学生的英语歌曲
- 谁晃倒了小学生的脑袋英语
- 深圳有哪些小学生英语竞赛
- 深圳小学生沪教牛津英语测试
- 适合深圳小学生早上晨读的英语
- 适合小学生听英语的小音响
- 适合小学生跟读英语的听力宝
- 替情敌养子多年重生后她
- 太阳系中质量和体积最大的行星
- 童趣大冒险2015年全集
- top的英语
- 听贝瓦儿歌聪明的一休
- 塔罗牌占卜免费
- 天天刷牙的儿歌大全简谱
- 抬棺匠免费
- 檀健次最新消息
- 田心教英语儿歌启蒙动画片
- 天路的音乐
- 童林传评书mp3下载
- 泰剧新无忧花开全集13
- 藤萝为枝晋江
- 兔小贝儿歌动画六一儿童节
- 听睡衣小英雄2
- 胎教儿歌怀孕3到4个月
- 天津动物园门票多少钱一张
- 听小说杨洛
- 唐僧师徒的极品笑话
- 陶渊明杂诗十二首其二
- 屠夫家的小娘子全文免费阅读
- 头发 长得快
- 唐诗宋词儿歌儿童版
- 推荐女尊文
- 同学外貌的句子
- 太上武神诀小说精校版
- tpo阅读答案解析
- 推文种田文
- 天然蓝宝石裸石
- 文松小品大全集
- 我的合租生活
- 我们去旅游
- 我在惊悚游戏里封神小说目录章节
- 我的极品老妈全集免费
- 我的美女老板电视剧
- 未了情原唱苏允
- 我们一起成长
- 王维的名人名言
- 王羲之爱鹅阅读答案
- 五分钟演讲的方法与技巧
- 汪汪队汪汪队汪汪队
- 晚间新闻历年片头
- 王小曼与门卫老冯全文收听
- 维特根斯坦有多天才
- 文案大全短句
- 万古神帝免费费听书
- 忘情水歌词
- 我朋友的丈夫
- 我们的爱歌曲
- 我要听民间故事
- 温暖的甜蜜的电视剧免费观看
- 危险性游戏在线播放
- 五年级英语绘本
- 外国的好声音
- 我怕来不及说我爱你
- 王牌对王牌第六季
- 我行让我上全文阅读
- 我要去远方电影简介
- 我的师父很多
- 小说麻尼台有声小说
- 仙界红包群
- 席绢有声小说抢来的新娘
- 修真艳遇记有声书
- 相声小品二人转电台有声书
- 刑侦类有声小说
- 雪中悍刀行有声书粤语
- 小村医的强悍人生有声小说免费阅读
- 小儿推拿辩证
- 性8轻读有声小说小仙儿
- 小学英语六年级
- 销魂岛有声小说
- 像遇蛇一样的有声小说
- 小农民王小强有声书
- 喜玛喜马拉雅有声小说
- 悬疑推理灵异纯爱双男主
- 雪山飞狐音乐
- 喜马拉雅开通会员能有声小说吗
- 寻龙笔记有声小说
- 小说林昆楚静瑶特种兵奶爸有声小说
- 孝经有声读物
- 想当有声书主播
- 喜马拉雅有有声书授权
- 希腊人的故事
- 萧嫔传有声小说在线收听
- 邪瞳鉴宝有声小说
- 心才是幸福的关键
- 小爱音箱能听有声书么
- 虚空凝剑行有声书
- 虚空济论语