初二勾股定理
勾股是什么啊?
勾和股是直角三角形的两条直角边。勾股定理是关于直角三角形三条边长关系的定理,应用非常广泛,比如,有习题 已知条件给你直角三角形两条边长的条件,让你求第三条边的值,你可以列方程求解。
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
关于勾股定理的故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股数有哪些
勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
数学中的勾股定理是怎么讲
勾股定理是一个基本的几何定穗做理皮弊,直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和猜握衡等于斜边(即“弦”)边长的平方。
勾股定理的故事
勾股定理趣事
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
关于勾股定理的小故事?无
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
关于勾股定理的小故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
勾股定理的故事
最早发现"勾三股四弦五"这一特殊关系的是古埃及人,这一事实可以追溯到公元前25世纪,中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理,而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明,那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。这个定理在中国又称为"商高定理",在外国称为"毕达哥拉斯定理"。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理。。。
直角三角形古语:(勾三股四弦必五) AB+BC=AC (AB某直角边BC某直角边AC斜边)
勾股定理
定理
在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:
a²+b²=c²
勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。
向左转|向右转
热门问答
- 1如何坚定地拒绝别人?学会这三招坚定拒绝
- 2男友跟我分手了他说他不喜欢我了他累了还说你也挺累的还说了句但我只知道放下你我做不到什么意思?
- 3在你年轻的时候,哪些电视节目很受欢迎,但现在却失败了?
- 4静美雪夜怎么理解
- 5好演员的定义是怎样的?哪位男艺人才是真正的好演员?
- 6原神渔获需要的鱼在哪里钓
- 7承诺这东西,听的人记住了,说的人早忘记了,疯子说给傻子听的!说者无心,听者却?
- 8心比长相好 懂比爱重要 是什么意思?
- 9“那必须滴!”是哪个小品电影的台词来着?或者谁是比较经典的原创呢?要音频!
- 10为什么白天天上的叫太阳,晚上天上的叫月亮?
- 11方位是什么意思?
- 12电视剧花絮太尴尬,为什么电视剧只拍上半身?
- 13《火影忍者》鸣人可以让卡卡西的眼睛复明,为何不修复凯皇的腿?
- 14早安!又是假装快乐什么意思?
- 15古城老街旧少年是什么意思
- 16唯一后面加什么词语好听
- 17一个妹纸唱的关于魔兽世界的歌曲
- 18古代的十盏酒等于现在的多少斤酒
- 19EA7请勿停留里面的英文歌叫什么
- 20聪明的女人特征
- 21海南国际旅游岛岛歌
- 22风靡全球的主流歌曲是什么?
- 23承诺只有听的人记得,说的人早忘了 这什么意思?
- 24我们争吵的时候是什么歌
- 25在大多数洞穴中发现的四个区是什么?
- 26虽然他处境艰难,但却没有动摇过自己的理想,正所谓什么?
- 27年逢吉日临赤壁下句是什么
- 28唯有佳人忆南国,殷勤为尔唱愁词运用了什么表现手法
- 29谁有几首超嗨的歌?最好是鼓点的!谢谢。
- 30为什么太阳在天上呢
相关搜索
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- abstracts听力
- 爱贝国际少儿英语林州
- abc考王五年级英语上册
- ABC360英语启蒙方法
- 爱情启蒙英语怎么说啊
- 奥运五环颜色英语启蒙
- 爱贝国际少儿英语启蒙
- 爱上英语启蒙的85后女生
- 按摩耳道听力
- 安阳话听力考试
- ai启蒙英语软件怎么样
- 爱奇艺儿童启蒙英语双语
- abcmouse英语启蒙效果怎么样
- 爱学习的小猴子英语启蒙
- 黯粤语儿歌早教英语启蒙
- 安琪启蒙英语怎么说
- a4大小三年级英语试卷
- 奥数英语启蒙几岁开始学好
- 案6年级下册英语新思维答
- 爱乐奇英语启蒙有多少单词
- amazing听力
- 奥特曼英语启蒙早教4岁
- 昂立少儿英语启蒙美术
- 阿卡索启蒙英语歌曲
- aabs听力
- 安妮鲜花 不能错过的英语启蒙
- 安静的英语儿歌早教启蒙
- 阿伊哦小小爱 英语启蒙
- 奥运英语启蒙歌曲完整版
- Agroecology听力
- 包青天小说有几个版本
- 爆笑校园相声剧本短篇
- 兵器谱相声侯震
- 背叛的代价小说全文阅读
- 背架大鼓乐队
- 报母恩大鼓全集
- 百年评书解说
- 伯爵与精灵小说阅读
- bgm说书人原神
- 百里骨生花下载
- 白狐一生小说
- 不开心的时候小说
- 保护女主的都市小说
- 北海到玉林快板时刻表
- 白眉大侠评书最精彩的
- 爆笑相声岳云鹏
- 变身的日常系小说
- 碧玉清音
- 百兵图裘落
- 冰公主亲嘴小说
- 别薰大鼓词的意思
- 八年级下册语文电子书2017
- 播音艺考才艺展示快板
- 宝贝别离婚小说
- 被闺蜜和未婚夫背叛的小说沈微
- 不婚症候群小说阅读
- 滨海文化中心相声购票
- 被杀重生的玄幻小说
- 白马银枪高四季的评书
- 捕宠小说下载
- 陈九龄相声
- 巢湖练兵快板
- 串烧死了都要爱相声
- 吃虾相声
- 才艺和相声的结合
- 从相声到曲艺
- 陈经远评书
- 春节幼儿园快板词
- 丑娘娘大鼓
- 曹云金与刘云天相声
- 成都市博物馆说书俑
- 陈廷敬评书高老爷
- 昌都相声培训
- 传统武侠小说鹰爪王评书
- cubase中大鼓
- 春之声快板
- 吃货相声稿
- 成语故事表演相声剧本
- 苍南大道渔鼓
- 吹牛相声介绍词
- 常贵田与常宝华相声福寿全
- 成长的烦恼相声圣斗士星矢
- 创意小家电音乐南极人
- 创意家居音乐南极人
- 仓央嘉措爱情诗
- 崔自豪刘春山相声
- 创作150段相声
- 春花大鼓
- 传统相声最经典
- 陈朔相声演员师承
- 动物园真有趣
- 冬日的景色唯美句子
- 对立的英语
- 对外汉语专业考研学校
- 都挺好电视剧在线播放
- 斗戏三国
- 斗罗大陆之绝世唐门免费阅读
- 大班生字表汉字
- 动物涂颜色
- 电影放映时间
- 的阳光
- 毒吻电影
- 电影《上海滩》
- 大奉打更人临安的堕落君梦谁言
- 动物管理局陈赫是什么动物
- 但夜莺不来
- 都市奇门医圣免费下载全文
- 电影创作
- 都市妖奇谈有声小说在线阅读
- dj音乐mp3免费下载
- 第一序列小说无弹窗
- 杜甫诗精选
- 大秦仙师全文免费阅读
- 大明第一狂士女主角
- 档案整理员
- 断舍离吧
- 都市极品至尊邪帝
- 大约在冬季电视剧
- 大学生如何坚持实事求是
- 等差数列前n项的和的公式
- 儿歌哦哦歌
- 儿歌筷子哥
- e儿歌做饭饭
- 儿歌盖楼房ppT
- 儿歌想娃娃
- 儿歌小皮球一年级下册歌词
- 儿歌去哪个地方听好呢英语
- 儿歌好宝宝目的
- 儿歌简单穿搭推荐小个子
- 儿歌你我来做好朋友
- 儿歌表演音乐
- 儿歌站立歌
- 儿歌手拉手教学设计及反思
- 儿歌过年手势
- 儿歌多多兔子舞
- 儿歌大脚丫蹦蹦跳
- 儿歌我是老师的歌完整版
- 儿歌帅哥
- 儿歌石灰
- 儿歌带太阳的歌词有哪些
- 儿歌爷爷儿歌盛典
- 儿歌快乐的一天想什么
- 儿歌云妈妈
- 儿歌夏天来了秋天来了
- 儿歌钢琴单手
- 儿歌点什么
- 儿歌音乐吉他谱大全简单版
- 儿歌女孩发型简单漂亮
- 儿歌巧虎学古诗
- 儿歌多想回到家乡
- 凤柒写的小说
- 凡人修仙传e小说
- 拂朗花开小说全集
- 反派穿越成软妹
- 枫落忆痕小说集
- 飞卢小说作家注册
- 反骨小说二十
- 焚天之怒书包
- 夫妻陌路嘀嗒小说
- 福晋驯夫记第二部全文
- 反派御主的自我修养
- 富豪小说全文免费阅读
- 非常贩卖小说
- 凤权天下归元云
- 奉子成婚小说
- 风雪帝国真邪小说免费阅读
- 富贵电视剧小说
- 附身吕布全本
- 封神双龙传下书网
- 芙蓉帐暖又逢君全文
- 富察傅恒小说
- 凤囚凰番外
- 逢狼时刻全文加番外
- 凤声鹤唳by兔佬
- 凤囚凰未删减在线阅读
- 法律帝国德沃金
- 非常喜欢你云
- 焚天仙境免费
- 凤逆天下漫画小说
- 飞龙岂是池中物
- 歌曲练习
- 盖世英雄曹操
- 高中生补课
- 高中数学必修三
- 钙钛矿太阳能电池材料
- 高中化学重要知识点
- 光影剧社广播剧
- 广州版小学英语一年级上
- 管理学专业大学排名
- 高中英语七选五
- 故事盲人摸象
- 高中英语语法结构图
- 高中化学与生活
- 高中化学有机
- 国学文化的互联网思维
- 跟着小安妮阅读
- 轨道交通安全管理
- 高中地理课程
- 高三冲刺标语
- 高中英语口语课教案
- 高中高一下册数学
- 高三英语知识点总结
- 跟我一起学英语
- 高一 英语
- 高二英语零基础
- 高中历史辅导
- 高三在线补习
- 关于牙齿的儿童故事
- 果果讲英语
- 关于自己才能的英语作文
- 合欢树史铁生阅读答案
- 回声嘹亮2013西游记
- 红楼梦林黛玉初进贾府原文
- 花牛歌 徐志摩
- 孩子转学心理疏导
- 哈利波特与火焰杯小说免费阅读
- 欢乐喜剧人贾冰经典小品
- 花飞花谢花满天电视剧免费全集
- 混是小农民马小乐
- 黑豆芽的营养价值
- 狐狸和葡萄阅读答案
- 黄梅戏天仙配伴奏音乐
- 寒门福女野又飒
- 荷花听雨的诗句
- 很幽默很皮的早安句子文案
- 哈利波特密室逃脱破解
- 黑龙江天气预报一周天气
- 华常高速起点和终点
- 寒食诗情
- 哄女友开心的情话
- 韩剧哪里可以看
- 黄金时代声音碎片
- 红酒可以治疗失眠吗
- 浣溪沙·端午赏析
- 哈利波特 恶咒
- 好看的先婚后爱小说推荐
- 很爽的电影
- 回忆我的母亲读读写写
- 红楼梦的文学价值和现实意义
- 红色家风故事
- 简短又搞笑的相声剧本
- 江苏卫视大拜年相声
- 酒吧相声小品
- 节日游戏相声
- 金庸小说评书免费
- 京剧西皮快板名段
- 集贤堂酒吧相声
- 姜昆评为相声非遗传人
- 积极向上的相声
- 极限特工相声
- 叫花子街头快板
- 金霏陈曦最长相声
- 津澧大鼓
- 今日泉州南音
- 精琴书画打一肖
- 江西服东北大鼓
- 贾梦帆相声
- 军训相声搞笑剧本
- 经典二人转老磁带全集
- 基诺族大鼓舞音乐
- 金霏陈曦相声不忘初心
- 经典单口相声马三立
- 绛州大鼓歌曲
- 金乡渔鼓筒子大全
- 给我播个郭麒麟相声
- 鸡兔同笼相声大全
- 济南曲艺评书
- 姜昆赵炎相声小品大全
- 叫鹏的相声
- 讲课跟说相声似的
- 考研听力诀窍
- 卡拉OK儿歌猜猜我是谁
- 恐龙世界儿歌童话故事
- 卡车英文版儿歌
- 孔雀手儿歌
- 可爱的小猴子吃奶瓶儿歌
- 孔子采灵芝儿歌有哪些
- 块的英文儿歌启蒙水果
- 科普版英语5年级词汇
- 科普版5年级英语下册
- 快乐启蒙贝乐虎儿歌
- 开小火车的儿歌
- 科普版英语五年级上朗读 mp4
- 开始的开始的儿歌
- 恐龙妈妈去摘草莓儿歌
- 快乐宝宝冰淇淋店儿歌
- ktv唱的儿歌
- 恐龙救援队儿歌英文版歌词
- 昆虫有关儿歌名字有哪些
- 恐龙和小狐狸的儿歌
- keep听力满分
- 看水果写儿歌
- 可乐狗唱儿歌
- 科技儿歌大全简单又好听
- 可以打出拼音的儿歌有哪些
- 快乐屋里的小宠物儿歌
- 快乐的一天初中生英语作文
- 开心小哥俩儿歌
- 恐龙化石儿歌
- 匡睡的儿歌
- 两只狮子听到妈妈的话儿歌
- 老虎和小羊在一起儿歌
- 黎锦晖儿歌
- 零岁到三岁小孩儿歌大全
- 礼貌歌儿歌打架的板书
- 铃声儿歌打电话
- 六年级下册英语p4上听力
- 蓝猫小学英语600句
- 雷州市初一英语
- 六年级第5单元英语单词
- 涟水儿歌
- 六年级下册英语作文范文第4单元
- 蓝迪儿歌让我们一起说谢谢
- 六年级上册英语译林版课文4
- 六一跳舞儿歌小苹果
- 六年级上册英语u3预习
- 老鼠声音变大怎么办儿歌
- 六年级下册英语unit4翻译课文
- 鹿小鹿儿歌伴奏
- 哩哩哩哩哩哗哗儿歌
- 绿油油的玉米地儿歌
- 六年级上英语单词第4单元
- 来啦儿歌
- 李小明儿歌
- 龙岩初三质检2021英语
- 六年级英语上册测试卷3
- 蓝清灵英文儿歌
- 老虎乌龟兔子小鸟儿歌
- 劳动歌曲儿歌抖音最火
- 蓝猫小学英语
- 蚂蚁蚂蚁会挖洞儿歌录音
- 妈妈和女儿歌曲表演
- 妈妈不让哭怎么办儿歌歌词
- 妈妈我真的很想你儿歌歌词
- 迷幻美景音乐推荐一下儿歌
- MBA英语考试须知
- 拇的拼音儿歌怎么读
- 卖报歌顺口溜儿歌
- 磨鲜豆浆儿歌
- 猫小帅儿歌app口袋
- 门前游过一群鸭幼儿歌曲
- 米奇宝贝儿歌
- 米迪幼儿英语怎么安装
- 卖油的老男孩儿歌简谱教唱
- 磨的拼音儿歌怎么唱的好听
- 米小兔上的儿歌
- 母亲节儿歌怎么弹的好
- 描写小猫的儿歌
- 闽南语游泳儿歌怎么说
- 满级儿歌百度
- 美丽的花园儿歌内容
- 妈妈格桑拉贝瓦儿歌
- 美式英语幼儿连读跟读
- map英语考试满分多少
- 猫头鹰尾巴有几个洞儿歌
- 满级儿歌改版
- 谜面是儿歌的谜语怎么说
- 门口坐大黄狗儿歌
- 美签英语考试
- 免费收听儿歌虫儿飞
- 年会抽奖过后相声
- 南宁回上林最晚快板
- 南音梨园版
- 女生容易表演的相声
- 南宁音叉式物位开关
- 南昌嗨啤音乐酒吧
- 牛群相声小品全集谁比谁高
- 那个冬天那场雪
- 南谯城区音响租赁价格
- 农村人二人转全集
- 南宁bo音响改装
- 南音乐器二弦
- 男人抱着大鼓边敲边摇头
- 南通冷却塔防噪音板
- 年会节目双人男相声
- 南岸8音度音响改装
- 女性就业
- 南昌话经典句子音译
- 哪里能免费听音乐
- 南宫弥音
- 南音海丝航标颂
- 南北方言的相声剧本
- 牛崇光大鼓表演
- 南音乐团配置
- 年终晚会快板
- 南丝拉夫电影音乐
- 男人帮相声
- 南师大随园校区艺考音乐
- 宁波单簧相声
- 南山南酷音小伟吉他谱
- 瓯海成教高考英语辅导
- 瓯海英语高考哪里好一点
- 瓯海英语高考哪里好
- occur高考英语
- 瓯海高考英语辅导
- oppo英语高考
- 瓯海英语中考考前冲刺
- 偶数英语作文中考江西
- 瓯海关于中考英语辅导
- 瓯海物理实验中考英语辅导
- 瓯海理综高考英语听力
- 瓯海冲刺中考英语辅导
- 瓯海理综高考英语听力考试
- 瓯海文科高考英语辅导
- om结尾的高考英语单词
- 瓯海迎战中考英语听力
- 偶遇英语高考
- 欧洲老师谈高考英语
- occupy高考英语
- 瓯海英语高考哪里好些
- 瓯海在线高考英语辅导
- 瓯海英语高考辅导老师
- 瓯海中考英语听力
- 瓯海英语高考哪里好考
- 瓯海异地高考英语辅导
- 瓯海异地高考英语辅导老师
- 瓯海理综高考英语听力成绩
- 瓯海英语高考成绩
- 瓯海市中考二模英语
- 瓯海中考模拟英语作文
- 朋友英语谚语
- 平板怎么看电池寿命
- 平凡之路什么意思
- pu和聚氨酯有什么区别
- 破阵子晏殊燕子欲归时节
- 普通话水平测试朗读六十篇
- 培养自己的逻辑思维
- 拼搏人生作文
- 潘长江搞笑视频段子
- 评书水浒传单田芳360集全集
- 评书大明演义320回单田芳
- 皮影戏阅读题答案
- 泡沫小说听书
- 破阵子宋词
- 普罗米修斯》
- 平行四边形的面积公式是什么?
- 盘丝洞
- 潘多拉英语
- 平凡的世界推荐理由
- 培养孩子学医从哪入门
- 霹雳娇娃2
- protection
- 平步青云李青云全文在线阅读
- 破茧电视剧全集免费观看
- 爬沙虫的功效与作用
- 平仄
- 菩提树下剧情简介大结局
- 评书九阴九阳在线收听
- 评书夜幕下的哈尔滨在线收听
- 评书隋唐演义下载
- 清初风云有声小说
- 巧手农妇腹黑夫有声小说
- 秦时明月始皇之死有声书
- 千树小说有声
- 芊泽花有声小说在线收听
- 麒麟有声小说手机版
- 求好听的女主捉鬼古代有声小说
- 全本免费小说怎样有声听
- 娶个冥妻来防身有声小说免
- 蜻蜓的fm有声小说
- 庆余年电视剧
- 七爷priest有声书在哪听
- 千里寻你重返狼群有声书
- 七零彪悍女知青有声小说
- 全职做有声小说难吗
- 秦岭神树05有声小说
- 庆余年2有声小说61
- 亲友书讲记有声书
- 七零娇宠白莲花
- 全本从前有座灵剑山有声书
- 求一些男主角靠双修练功的有声小说
- 七零年代老北京有声小说
- 情爱有声书
- 秦立临婿有声小说
- 泣幽冥有声小说
- 青云直上思有为小说有声
- 权财多人有声小说
- 秦爷的小哑妻
- 全职赘婿有声小说泡芙先生
- 妻子的礼物有声小说
- 如何改变自己思维方式
- 如何领取失业保障金
- 人生生活的经典语句
- 人间喜剧在线播放
- 日产汽车全部车型
- 如何让朋友快点还钱
- 人活着为的什么
- 日历带周数
- 让小朋友自信的故事
- 热舞舞蹈视频
- 人生曲折的路感悟
- 如何对待人际关系
- 如何改善脸部痘痘
- 惹女朋友不开心的检讨书
- 人间至味是清欢演员表
- 如何禁止微信游戏
- 如何下载恋听网app
- 日月项链
- 日本套娃
- 日女小说
- 人间真情满分作文
- 热血英豪手游
- 让我们荡起双桨架子鼓谱
- 人教版六年级上册数学知识点
- 人教版八年级上册数学电子课本
- 日本国驻重庆总领事馆
- 入门级英文原著小说
- 人生若只如初见解析
- 如果的事歌词
- 若你安好便是晴天免费观看电视剧
- 神级投资精校版下载
- 所有小说的打油诗
- 神隐风暴眼小说绘
- 沙海小说哪儿可以看
- 傻子王爷一类的小说漫画
- 撒娇男主玄幻小说
- 神曲小说在线阅读
- 沙漠农牧场类小说
- 三天秘法掌诀法旨电子书
- 三国召唤美女军小说下载
- 三国志选在线阅读
- 三生石上小灯心小说
- 苏央然是那篇小说的主角
- 杀手穿越小说完结推荐
- 神偷化身小说下载
- 适合出阅读的小说网站
- 苏醒的玄幻小说
- 受重生复仇校园小说推荐
- 少女变男生小说
- 手机版小说免费下载
- 沈涵瑶江慕云小说免费
- 傻子林峰的那部小说
- 谁是海伦凯勒电子书
- 四月的小说女主叫楚怜
- 守君一世链接
- 实数认识无理数电子书
- 山村孽情乱小说全文阅读
- 升级小说是什么
- 什么软可以找小说资源
- 三个主人公的轻小说
- 天使之岛
- 听闻楚新
- 泰式小曲
- 痛快人生
- 童声开场削个椰子皮
- 通幽曲
- 兔小贝
- 天然キャラはご愛嬌
- 太空劲爆上头
- 痛在加倍
- 谈不会你的心
- 天生尤物
- 泰式电电摆
- 贴贴耳朵鼻子嘴
- 他的愿望里没有妈妈
- 甜蜜心中绕
- 太阳公公画彩虹
- 童声日文合唱版
- 抬起头
- 土方歳三のテーマ
- 眺望最远的风景
- 托妻献子
- 头晕目眩
- 土楼客家来
- 听曲摇
- 躺王
- 天水的早晨
- 透明的幻境
- 他带我看过这世界
- 天生的吃软不吃硬
- 武侠小说少林八绝
- 我的美女老师小说结局
- 文件怎么弄
- 网络小说名作
- 万界大盗系统下
- 未到花朝一半春
- 万道剑尊有声小说恋听
- 我的大明星男友
- 午夜之子小说名言
- 我一脚踢飞男主gl快穿
- 无限流综漫后宫小说
- 吾家萌夫初养成奇书
- 网游之女变男小说
- 未婚夫18岁
- 网络小说楚云浩
- 武侠的yy种马小说
- 网游之元素召唤
- 王山小说系列
- 万象物语小说在哪儿
- 完本的古代军事小说
- 吻得太认真小说童星
- w网络小说免费
- 我的美女总裁老全本
- 吴天昊小说
- 违心的爱全集
- 武神空间分卷
- 网胖也是潜力股
- 我要看经典的小说赌石
- 物理电子书大全
- 我和悟空谈人生云
- 星辰变秦羽说书
- 小说说书直播
- 相声一的读法
- 西安相声节演出票光光
- 学英语app 开学季
- 相声家族合照
- 学英文书籍推荐
- 相声周培严
- 相声卖唱女
- 相声帮助他人完整剧本
- 相声阁德云社温哥华专场
- 现场观看二人转表演
- 相声兵器谱谁说得好
- 喜马拉雅外研版三年级上册英语
- 笑傲江湖说相声光头的是谁
- 相声郭麒麟减肥
- 相声演员刘伟唱日语歌曲
- 相声菜谱报菜名
- 新年小品快板
- 相声演员鸿宝
- 相声有新人冠军奖励
- 相声小品小薇
- 小学英语点读app免费
- 新初一英语课本上册
- 小学生谐音相声剧本
- 相声新势力最新作品郭德纲
- 相声艺术家杨达
- 小学英语外研版课本点读软件
- 相声演员带娃
- 相声演员大兵出生日期