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【成城断金】:chéng chéng duàn jīn,成城,团结得像城堡一样坚固;断金,力量大得能折断金属。指万众一心,力量无比强大。作谓语、宾语、定语;用于书面语。
1.了解多边形、正多边形及多边形的内角、外角、对角线等概念.
2.理解并掌握多边形的内角和、外角和公式,并能运用于解决计算问题.
3.初步学会添辅助线,把多边形转化成三角形来研究的方法.
4.运用列方程(组)的方法解决多边形的应用问题.
5.体验探索、归纳过程,学会合情推理的数学思想方法.
【主体知识归纳】
1.一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,又称为多边形.
2.如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,则称这个多边形为正多边形.
4.n边形的内角和为(n-2)·180°.
5.任意多边形的外角和为360°.
【基础知识精讲】
1.积极参与小组学习,充分与小伙伴们交流与合作.
2.本节是三角形有关知识的拓展,学习时应注意与三角形的有关知识加以类比.学会把多边形的问题转化为我们熟悉的三角形的问题.
3.注意用不同方法探索多边形的内角和公式,如第54页的探索方法、第55页的“试一试”、第56页习题第2题等.
4.通过用计算器计算去探索、归纳多边形的内角和与外角和公式,感受到计算器的功用,增强自觉运用计算器的意识.
5.多边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少没有关系,这方面与内角和不同,作为数学常识应牢记.
6.本节的重点是:n边形的内角和概念;
本节的难点是:n边形的内角和公式的灵活运用.
【例题精讲】
例1.已知一个多边形的内角和是1260°,求这个多边形的边数.
解:设这个多边形的边数为n,由多边形内角和定理,得
(n-2)180°= 1260°
n-2=7
n=9
答:这个多边形的边数是9.
说明:多边形内角和定理(n-2)·180°有两个作用,一个是由边数计算内角和,另一个是如果知道了多边形的内角和,可以利用这个公式解出它的边数.
例2.已知一个多边形的每一个外角都等于72°,求这个多边形的内角和.
分析:若想求出这个多边形的内角和,关键是要先求出这个多边形的边数.
解法一:设这个多边形的边数为n,于是有72n=360,所以n=5.
所以这个多边形的内角和等于(n-2)·180°=(5-2)180°=540°
解法二:设这个多边形的边数为n,于是有72 n=360 =5
因为多边形的每个外角都等于72°,所以这个多边形的每个内角都等于180°-72°=108°.故有多边形的内角和等于5×108°=540°.
说明:本题还有其他方法,如用n (180°-72°)=(n-2)180°,求得n=5,不如用72n=360求n简便,说明我们平时解题时,应注意选取简便方法.
例3.一个多边形除了一个内角外,其余各角的和为2750°.则这一内角是( )
A.130° B.140° C.150° D.120°
解:由n边形的内角和定理可知,n边形的内角和必为180°的整数倍,当该内角是130°,其内角和为2750°+130°=2880°
2880°恰为180°的整数倍,故选A.
说明:上面是利用验证法解出的.数学选择题的几个被选答案中,都只有一个答案正确的,上面解法的正确性,也与数学选择题的这一特点有关,不然的话,就还需对该内角取其他几个值的情况逐一进行考虑.
如果例3不是一道选择题,则解法是:设多边形的边数为n,去掉的一个内角为x°
因为x的值大于0°而小于180°,n的值又为正整数,因此x只有等于130°,此时n的值是18.
例4.证明任何一个多边形的内角中,锐角的个数不能大于3.
证明:假设一个多边形的内角中有四个或者更多个是锐角,那么与这些锐角相邻的外角就有四个或更多个钝角,它们的和大于360°.这些多边形的外角和就会更大于360°.这与多边形的外角和等于360°相矛盾,所以多边形的内角中,锐角的个数不能大于3.
例5.已知一个多边形的每个内角都相等,且内角的度数等于和它相邻的外角的度数的3倍,求这个多边形的边数.
解法一:设多边形的边数为n,
因为多边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也相等.
解这个方程,得n=8,故这个多边形的边数是8.
解法二:设多边形的边数为n.
因为多边形的每个内角的度数都等于和它相邻的外角的度数的3倍,于是这个多边形的内角和是外角和的3倍,可得方程(n-2)·180°=360°× 3.
解这个方程,得n=8,
所以这个多边形的边数为8.
解法三:设多边形的每一个外角都为x度,则它的每一个内角都为3x度.
根据题意,得x+3x=180,
所以这个多边形共有8个外角,即这个多边形的边数为8.
说明:有关多边形内角和及边数的计算问题,通常设边数为n,然后根据多边形内角和公式,列方程求解.本例的解法一是根据多边形的每个内角与它相邻的外角之间的数量关系列方程求解,而解法二是以多边形的内角和与外角和的整体关系来列方程求解,两种解法属于同一种思路.解法三是根据多边形的内角与它相邻的外角之间是邻补角关系,列方程求出外角的度数,再转化为求多边形的边数.这几种解法各有特点,第三种解法最易入手,第一、第二种解法要先判断出该多边形的每个外角都相等,才能列出方程.在解题时,要根据给出条件的特点,灵活选用恰当的解法,达到简化解题的目的.
例6.某多边形所有内角的和与某一个外角的差是1710°,则这个多边形的边数为_______,这个外角的度数为_______.
分析:由多边形内角和公式可知,多边形的内角和一定是180°的整数倍,又每一个外角都小于180°,所以把1710°除以180°所得的商加上(2+1)即为这个多边形的边数,而所得的余数再表示为(180°-α)的形式,即可求得这个外角的度数.
解:设此多边形的边数为n,由1710°=9×180°+90°=10×180°- 90°,
可得n-2=10,n=12,所以四边形的边数为12,90°为所求的这个外角的度数.
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1、认识魔方:三阶魔方有六个面、六种不同的颜色,每一面都有一个中心块,它将决定这一面还原后的颜色。中心块紧挨着的是四个棱块,魔方四个角的位置是四个角块。
2、一层十字:首先任意选择一种颜色(中心块的颜色),并还原这一面的四个棱块。还原之后,要把四个棱块的另一面与其中心块对应,具体方法:找到一个正确的颜色上左下左上左左下(右手)(此方法只适用于有一个颜色正确,或两个相对面颜色正确的,若有两个相邻面颜色正确则需调整到只有一个颜色正确,若一遍不成,则多做几遍)
3、还原一层:将十字冲下,在魔方中找到含有该颜色的角块并观察另外两个颜色,找到并旋转至与其相对应的中心块,口诀:n遍上左下右(右手)直至还原一层(若该棱块在底层,则做一遍上左下右,然后找到对应中心块即可)
4、还原二层:找到不含顶层中心块的颜色的棱块(如:不含红色),之后旋转顶层直至转到对应颜色的中心块,之后观察顶层该棱块的颜色,寻找该颜色所对应的中心块,假如在右边,则做右手公式(左上右下),之后再做一遍左手公式(右上左下);如果在左边则先做左手公式,再做右手公式。则需从第二层中,找出颜色错误的一块,做一遍左右手公式
5、还原三层十字:公式:开门上左下右上左下右(右手)关门。摆放位置:(只看棱块)若三层只有中心块一个正确颜色,则任意摆放;若正确颜色呈直角,则朝九点钟方向;若呈“一”字形,就横着摆,且上左下右只做一遍。接着还原三层大十字,还原方法见一层。
6、三层满面:公式:下左(右手)下右(左手)上左(右手)上右(左手)摆放位置:多一个正确颜色把它放左上,多两个正确颜色,则让魔方左上角的前面是正确颜色。一次不成,多做几遍。
7、还原魔方:下开门(左手)下左(右手)下右(左手)上左(右手)上右(左手)关门上(左手)摆放位置;若顶层四个角块全错,则随意放。若有正确的,就放在右下角。同样,也是需要做很多遍的.
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