n-1项等比数列求和公式
等差数列前N项和公式S=(A1+An)N/2 ,等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。注意: 以上整数。
扩展资料
日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。若为等差数列,且有an=m,am=n,则am+n=0。其于数学的中的应用,
可举例:快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个,算法不止一种,这里介绍用数列算令等差数列首项a1=24(24为6的4倍),等差d=6;于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。
等比:
1.当公比q=1时,Sn=na1
2.当q不等于1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)
等差:
1.Sn=n(a1+an)/2
2. Sn=na1+n(n-1)d/2
等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。
拓展资料;
等比的故事:
根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训。
他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情.
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相,作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐。
宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数,直到最后一个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了。 “好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求.
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒,这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!
如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下。
其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下!)。
就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟,当下就召来宰相,将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我也只好不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)。
因为Sn = a1 + a2 + ... + an,反过来Sn = an + a(n-1) + ... + a1。
两式相加,有:2Sn = (a1 + an) + [a2 + a(n-1)] + ... + [ak + a(n-k+1)] + ... + (an + a1)。
由等差数列知道对于任意的K,有[ak + a(n-k+1)] = (an + a1)。
(说明:可以把an = a1+(n-1)d)代入上式证明)
所以2Sn = n(a1 + an),故Sn = n(a1 + an)/2。
这是等差数列求和公式的推导过程。
扩展资料
等差数列的公式:
公差d=(an-a1)÷(n-1)(其中n大于或等于2,n属于正整数);
项数=(末项-首项来)÷公差+1;
末项=首项+(项数-1)×公差;
前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2;
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差;
等差数源列中知项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列。
1,当n为偶数时,
S=【2a1+(n-2)d】*(n/4)
2,当n为奇数时,
S=【2a1+(n-1)d】*(n+1)/4
二,偶数项的前n项和:
1,当n为偶数时,
S=(2a1+nd)*(n/4)=na1/2+n²d/4
2,当n为奇数时,
S=【2a1+(n-1)d】*(n-1)/4
m、n、p、q∈n*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每
k项之和仍成等比数列.
“g是a、b的等比中项”“g^2=ab(g≠0)”.
③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。
(4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列。
(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数。
(7)
等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)
(8)
数列{an}是等比数列,an=pn+q,则an+k=pn+k也是等比数列,
在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
注意:上述公式中a^n表示a的n次方。
(9)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
例如m=6,C6 3最大,是第4项,一共七项
当m为奇数,中间项有两个,它们同时最大,例如m=7,8项,C7 3=C7 4最大
=
第5项是中间项,说明展开式一共9项,n=8
可以到mathlab计算器上验碧巧证,这个表达式算出来的结果是对的,不洞歼过美中不足的就是计算最终表达式,这个原函数因为受个人知识有限,没能推出来,有请各路大神在本贴下评论出原函数的表达式。
n分之一的前n项和是发散的悔颤键,即n趋紧无穷大时,S(n)的值也趋近无穷大。
证明如下
证:不等式 x>ln(1+x) (x>0) Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)
因为lim[n→∞]ln(1+n)=+∞,所以lim[n→∞]Sn=+∞,故发散
所有调和级数都是发散的。调和级数即1/An的前n项和,其中An是不全为零的等差数列。
可以到mathlab计算器上验碧巧证,这个表达式算出来的结果是对的,不洞歼过美中不足的就是计算最终表达式,这个原函数因为受个人知识有限,没能推出来,有请各路大神在本贴下评论出原函数的表达式。
n分之一的前n项和是发散的悔颤键,即n趋紧无穷大时,S(n)的值也趋近无穷大。
证明如下
证:不等式 x>ln(1+x) (x>0) Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)
因为lim[n→∞]ln(1+n)=+∞,所以lim[n→∞]Sn=+∞,故发散
所有调和级数都是发散的。调和级数即1/An的前n项和,其中An是不全为零的等差数列。
最基本的公式是通项公式
通项公式是:
然后是求和公式
求和公式还分两种情况,一是公比不等于1,二是公比等于1
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