初二数学勾股
勾股是什么啊?
勾和股是直角三角形的两条直角边。勾股定理是关于直角三角形三条边长关系的定理,应用非常广泛,比如,有习题 已知条件给你直角三角形两条边长的条件,让你求第三条边的值,你可以列方程求解。
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
关于勾股定理的小故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
勾股定理的故事
勾股定理趣事
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
关于勾股定理的小故事?无
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
数学中的勾股定理是怎么讲
勾股定理是一个基本的几何定穗做理皮弊,直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和猜握衡等于斜边(即“弦”)边长的平方。
勾股定理。。。
直角三角形古语:(勾三股四弦必五) AB+BC=AC (AB某直角边BC某直角边AC斜边)
勾股定理的故事
最早发现"勾三股四弦五"这一特殊关系的是古埃及人,这一事实可以追溯到公元前25世纪,中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理,而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明,那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。这个定理在中国又称为"商高定理",在外国称为"毕达哥拉斯定理"。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股数有哪些
勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
关于勾股定理的故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
定理
在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:
a²+b²=c²
勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。
向左转|向右转
热门问答
- 1金属挡圈与喇叭嘴的标准
- 2风沙不小心进了眼,一会儿就找不着了,到哪里去了?
- 3苏州那里有屏蔽凯美瑞混动低速蜂呜声
- 4新生儿睡觉为何手舞足蹈哼哼哼?作为家长该如何应对呢?
- 5对联落泪画花泪花画泪画
- 6芳草青青,踏之何忍是什么意思
- 7经常动不动就提分手的人他的心理是怎样的?
- 8急求急求,大哥们快告诉小弟,踏板摩托车125CC要加什么油比较合适。我是在福州。
- 9难以想象,在爱里最痴情的星座男生有哪几个?
- 10死气沉沉和了无生机的区别
- 11美媒评交易市场5条大鱼:乌布雷上榜,榜首是谁?
- 12懒得和你说怎么怼回去
- 13洛克王国天空组宠物火苗龙和什么孵化最好
- 14音源是什么意思
- 15⑤好成日⑤记得有我啊什么意思
- 16负心的你原唱谢军
- 1709凯美瑞噪音大怎么办?丰田凯美瑞发动机噪音大怎么办?
- 18乔丹跳得最高的一次
- 19达尔杜弗追求美好来到巴黎合理吗
- 20CASAMIA卡莎米亚这个品牌的服饰怎样 属于什么档次的?
- 21为什么空的马车是叮叮当当的声音
- 22最痴情,只要被伤到就很难再爱的星座有哪些?
- 23关于《抽离》这首歌
- 24广州神秘军事大院在哪里
- 25佳人苑和郁香菲哪个档次高
- 26求中国风歌曲,最好是刚烈一点的
- 27小孩喉咙里有痰,听到“空,空“的声音,有点哮喘,但不咳嗽
- 28厌恶那种波澜不惊的生活,天生就是要做大事的三个星座,你都知道吗?
- 29减肥的时候、吃什么可以让自己瘦下来,而不饿到?
- 30什么山遮不住,毕竟东流去
相关搜索
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 阿拉丁电影在线
- 爱情问
- 安康有哪些旅游景点
- 艾青诗选最短的10首诗
- 爱的传递名言名句
- 奥迪q2二手车
- 艾莎蜘蛛侠
- 安徒生童话玫瑰
- 安徒生童话海的女儿全文
- 暧昧电影
- 爱我就别想太多演员
- 艾灸用的艾盒
- adobe音乐
- 阿胶糕有什么功效和作用
- 爱岗敬业的经典语句
- 啊家乡赞美诗歌
- 傲天佛尊全文阅读
- 爱恨随风纯音乐
- 爱我你就向我挥挥手广场舞
- 安阳旅游景点大全
- 安琪儿妇产科网上咨询
- 安庆绪的妻子是谁
- 安妮日记书
- 安吉找工作普工 招聘
- 爱上幼儿园 视频
- 阿尔法公司周杰伦
- 爱情的故事纯音乐
- 按那个穴位能补肾
- 暗黑破坏神之毁灭播放
- 爱情歌曲经典老歌
- 百天中考英语不好
- 北京英语中考 天利
- 北京英语中考c篇
- 北京中考英语难不难
- 北京卷 中考英语范文
- 北京中考英语阅读精选
- 北京中考英语成绩95
- 北京中考英语不变难
- 北京中考英语作文节俭
- 北京中考2英语作文
- 滨州历年英语中考卷
- 北京中考英语口听
- 帮助英语短语中考励志
- 必备中考英语2000词
- 不考听力的中考英语
- 北京中考英语2019试卷
- 北京中考英语分值调整
- 毕节中考英语试卷2016
- 保定广东中考英语试卷
- 备战中考英语听说考试
- 备战中考日文翻译英语
- 亳州中考英语满分试卷
- 保定中考二模英语
- 北京中考英语统一
- 北京英语中考听力试卷
- 保定中考英语试卷2017
- 北京中考英语新课标版
- 包头中考英语变化
- 毕节中考英语单选几分
- 北京英语中考1540词汇
- 从此更南征ztz音频
- 唱快板鼠来宝
- 陈郭庄大鼓
- clover相声
- 乘务员相声
- 陈小沫相声
- 陈曦相声10070
- 吃俄式西餐看二人转
- 曹云金相声合集合
- 初学快板新款
- 岑权松渔鼓
- 楚汉争雄评书22
- 传奇队相声
- 曹云金家书相声全集
- 程咬金与刘兰芳评书
- 沧州相声大全
- 纯快板的声
- 川大专场相声
- 催泪相声父子
- 曹佰植说书
- 陈印泉候振鹏的相声
- 成甲说书语音
- 吹牛系列相声
- 川剧快板戏
- 传奇说书者开宝箱
- 常治简介快板
- 蠢贼二人转
- 迟小暖宫南音小说
- 常氏相声解说
- 曹云金不在说相声
- 电视剧金水桥边
- 滴天髓全文阅读
- 大案实录
- 电影被窝
- 对我别撒谎
- 道德经黄帝内经
- 读后感吹牛大王历险记
- 电影《原罪》
- 丹道实修真传 pdf
- 大唐荣耀免费观看全集
- 大学毕业感谢老师的话
- 斗破苍穹 小说未删版全文
- 电视剧不要离开我剧情介绍
- 道德经 王羲之
- 斗破苍穹 小说完整版下载txt
- 迪士尼儿歌
- 多彩多姿
- 董其昌千字文草书
- 电动 消防排烟天窗
- 蝶恋简谱
- 洞见文章收听
- 大班幼儿园教案
- 电影破风
- 哆啦a梦音乐主题曲
- 懂我的人在哪里
- 大卫科波菲尔读书笔记摘抄赏析
- 地藏经全文完整版免费阅读
- 电视剧铁血红安演员表
- 当代艺术
- 大鱼原唱周深
- 呃小学一年级的英语
- 二年级有英语基础学什么好
- 二年级学学英语的好处有哪些
- 二年级英语仿写句子怎么写
- 儿童启蒙英语体验课
- 二年级英语期末考试扬州
- 儿童启蒙英语铲车蔬菜歌
- 儿童启蒙英语听力车载
- 二年级新概念英语十四课
- 儿童早教启蒙英语车子
- 二年级英语口语学生怎么读
- 儿童启蒙英语单词小兔
- 二年级英语上册外研版7
- 恩恩与姥姥英语启蒙
- 儿童吃饭英语启蒙歌曲大全
- 二年级简单的英语歌大全
- 儿童趣味英语启蒙故事
- 二年级下英语单词牛津版
- 二年级英语第8课跟读下册
- 二年级英语歌曲曲目大全
- 二年级英语填字母作业怎么写
- 儿童启蒙英语歌曲汉语
- 二年级小学生英语补什么
- 二年级英语人教版28页怎么读
- 二年级英语上册人教版u4
- 二年级小学生答高考英语
- 二年级下册英语第四单元难点
- 儿童启蒙英语竞品分析
- 二年级学生要会拼写英语吗
- 二年级的暑假有作业吗英语
- 范福林相声
- 方青平单口相声大全
- 放鬼说书全部作品集
- 非遗传承山东琴书
- 方洋飞说书人
- 反话相声词
- 冯六兴说书
- 方请串说的相声
- 范霄琦相声
- 阜新二人转工作
- 富二代干相声社赔了大钱
- 封神演义评书文稿
- 飞卢说相声
- 扶贫济困的相声
- 讽刺相声的经典稿子
- flower评书
- 复合媒体评书
- 福州鼓词
- 方清平和妻子相声完整版
- 佛山寺院大鼓
- 防骗相声第二期
- 福建泉州南音四宝教学
- 讽刺不学无术的相声
- 佛山电台交通国的歌曲
- 菲儿二人转东北虎
- 方言男女相声剧本
- 费玉清的清音乐叶倩文
- 福清音西营业部
- 封神演演义粤语评书
- 樊梨花征西琴书全集
- 关于食物英语句子小学生
- 关于梦的作文英语小学生
- 国外小学生英语怎么教的
- 关于小学生的英语短语大全
- 广州小学生说国语还是英语
- 国外小学生学英语口语
- 关于英语的故事小学生版
- 该怎么给小学生教英语
- 各个国家介绍小学生英语
- 搞笑短句子励志小学生英语
- 跟着小学生学日语好吗英语
- 鼓励小学生儿子的短句英语
- 国外小学生的周末生活英语
- 赣州自考英语单词小学生
- 跟小学生交流的英语作文
- 关于小学生爱国的英语
- 关于春节的作文小学生英语
- 关于元旦的英语作业小学生
- 更新英语学习方法小学生
- 关于小学生的对话英语作文
- 贵阳小学生学英语哪里好啊
- 关于买车的英语作文小学生
- 鼓励小学生学英语的句子
- 关于网络的英语作文小学生
- 钢笔可以练英语吗小学生
- 广州和上海小学生英语学习
- 关于小学生英语启蒙的故事
- 钢琴老师教小学生英语好吗
- 该死的小学生英语翻译
- 关于小学生的英语励志短句
- 孩子不停经常好动
- 红楼梦中王熙凤和贾蓉是什么关系
- 黄轩杨幂电视剧
- 葫芦娃传
- 海豹汽车
- 花好月圆夜钢琴谱
- 韩旭
- 环太平洋一免费完整版
- 海明威的老人与海多少字
- 胡桃夹子想表达什么
- 杭州老年大学网上报名
- 画皮1中间的纯音乐是啥
- 韩语短句
- 花生春天种什么时候收
- 黑苦荞麦小麻花
- 河北孟姜女
- 红糖水的作用与功效什么时候喝
- 怀宁县30天天气预报
- 回乡偶书儿歌
- 海兔与乌贼
- 杭州春花秋月
- 杭州绍兴天气预报15天
- 红灯十字路口
- 孩子14岁注意力不集中怎么办
- 火爆的养生项目
- 黄帝内经秋天养生
- 河北旅游城市推荐
- 荒岛求生:开局一座岛
- 护士应聘合同
- 黄帝内经之灵枢
- 惊魂逐梦1神秘村落有声小说
- 将黎子长篇有声小说糖婚
- 金庸武侠有声小说全集在线听
- 绝世帝神有声小说
- 绝世唐门有声小说介绍
- 九爷夫人又掉马甲了
- 纪实类黑道有声小说
- 镜花有声小说
- 借命吃碗阴阳饭
- 金牌制甲师有声小说
- 剿匪记有声小说
- 极品小村医王二牛有声小说
- 解灵人有声小说移动版
- 金庸小说连城诀有声博听网
- 惊悚乐园听书有声小说
- 极品家丁有声小说粤语完整版
- 极品医神有声小说
- 金瓶梅有声小说全集
- 剑灵尊有声小说全集
- 济南的冬天朗读
- 锦桐小说全文阅读免费有声
- 将介石评价志愿军有声小说
- 积极人生的100个心理学效应
- 将进酒唐酒卿有声书
- 即兴的智慧有声小说
- 绝有声小说品神医林锋
- 惊魂十三夜有声小说
- 精品有声小说盗墓笔记
- 机架调试有声书
- 金星秀完整版有声小说
- kellen妈妈家庭英语启蒙
- 恐龙英语启蒙几岁开始
- kiss abc英语启蒙课
- 款式英语启蒙工具创意
- 开采石油英语启蒙
- kissabc趣味英语启蒙1
- 快乐英语一年级上册章节
- 考研复试英语启蒙水果
- 开心学英语六年级上册原版
- 凯恩英语启蒙儿歌
- 快乐启蒙英语123课
- 矿务局启蒙英语
- 口语英语启蒙早教
- 快乐启蒙英语水果大全
- 科普英语启蒙歌曲大全
- KOKO爱英语启蒙儿歌
- 可可听力英语启蒙
- 课堂笔记英语翻译五年级
- 夸家长英语启蒙早
- 开心学英语启蒙字母
- 快乐启蒙英语歌词
- 科学名言英语启蒙
- 恐龙学英语 儿童启蒙
- 开团英语启蒙神器
- 可优比英语启蒙
- 科普英语启蒙如何学好
- 卡由幼儿英语启蒙
- kivi少儿英语启蒙
- 跨国夫妻怎么教育孩子英语
- 夸孩子可爱英语
- 零五网英语六年级测试
- 聊英语启蒙学习
- 六年级下预习卡英语
- 流行英文歌学英语儿童启蒙
- 乐柠檬英语启蒙
- 六年级下英语unit 2
- 六年级上次英语期末人教版
- 六年级怎么提高英语阅读
- 六年级英语课文 上册
- 旅游英语启蒙歌曲推荐一首
- 乐器英语儿歌启蒙
- 六年级上册英语有什么
- 两岁孩子启蒙英语哪种好
- 六年级下册英语通城1典
- 六年级上册英语作文1到8
- 六年级上英语听读
- 落花有声英语启蒙
- 六年级上人教版英语阅读
- 六年级下册英语pep unit1
- 六年级上英语怎么背
- 六年级下册人教版英语unit1
- 六年级英语时间的语法
- 六年级英语作文带翻
- 六年级英语动词的应用
- 例假颜色英语启蒙
- 六年级四篇英语短文
- 六年级英语周末练习1pep
- 六六妈启蒙英语
- 岚山幼儿英语启蒙
- 蓝色紫色英语启蒙
- mike演过的中国电视剧
- 牧童骑牛国画
- 墓道小说
- 描写动物作文200字
- 美短猫和橘猫哪个好
- 麻雀鸟是几级保护动物
- 木府风云插曲纯音乐
- 慢四舞曲九儿免费下载
- 魔法学徒 小说
- 米糊儿上学记有声故事在线收听
- 免费下载付费歌曲网站
- 美丽的学校作文300字
- 敏感肌排毒能用芦荟吗
- 摩托车科目四50道题模拟考试
- 免费查重论文的网站
- 猫小帅儿歌小青蛙要回家
- 名人思考的例子
- 免费听小说我的徒儿竟然全是反派上
- 描写北京的名家散文
- 冥想催眠纯音乐
- 满江红古诗原文名句
- 明日歌谁写的
- 美食配乐推荐
- 蒙娜丽莎英语作文
- 猫的价格大概是多少
- 妈妈咪呀在线观看完整版
- 萌妻哪里逃免费阅读全文
- 目标对一个人的重要性
- 妈妈好爸爸好儿歌小班
- 美人草电影在线观看
- 年高考年模拟卷英语
- 女生高考选日语还是英语
- 南京2016一模英语高考
- 内丘高考英语听力考试
- 扭曲青春作文模板英语高考
- 女孩做高考英语试卷好吗
- 哪个省不把英语列入高考
- 内蒙高考英语考听力吗
- 哪英语高考考单词拼写
- 南宁2023高考一模英语
- 内蒙古高考英语改错
- 拿的英语试卷推荐高考
- 宁夏高考英语乙卷分数
- 念的英语作文模板高考
- 暖的英语高考教辅数学
- 南京2018高考英语二模
- 哪个省份高考英语试卷最难
- 男孩高考英语不及格
- 宁夏高考英语模拟卷推荐
- 南平二模和高考英语
- 农教怎么备考高考英语
- 内江旅游攻略浙江英语高考
- 男孩高考前励志短句英语
- 哪个省废除了英语高考
- 南平英语高考志愿表格填写
- 男孩高考少考门英语
- 南京名校高考英语完形
- 宁夏甘肃高考卷英语
- 哪里的高考英语120分
- 宁波高考二模英语2024
- 偶数英语启蒙
- oost英语启蒙
- owo英语启蒙
- ODI启蒙英语
- owol英语启蒙
- over英语启蒙
- 欧特曼英语启蒙
- oval英语启蒙
- oclock 启蒙英语
- ocean启蒙英语
- ooby 英语启蒙
- ohno 启蒙英语
- oa英语启蒙
- ock 英语启蒙
- olop英语启蒙
- 欧阳英语启蒙
- oly 启蒙英语
- 偶尔启蒙英语
- owl启蒙英语
- okmath英语启蒙
- oder英语启蒙
- 欧亚英语启蒙
- ocean幼儿英语
- own 英语启蒙
- ojo英语启蒙
- obot英语启蒙
- open英语启蒙
- oxford英语启蒙
- onuts英语启蒙
- oscar 英语启蒙
- 平南县中考英语试卷
- 浦东区中考一模英语
- 偏科生中考英语加分吗
- 莆田中考英语总分多少
- 莆田中考英语短文填词
- 攀枝花中考英语复习
- 莆田中考英语语法
- 品至中考英语听力
- 沛县中考英语难不难考
- 莆田2022中考英语
- 普陀2019英语中考一模
- 盘锦中考英语卷满分多少
- 攀登英语作文模板中考语文
- 品质口号励志语录中考英语
- pk中考英语条形码
- 平度中考二模英语作文
- 平江中考英语试卷组成
- 沛县英语口语听力中考
- 盘锦中考英语作文23篇
- 派通可以中考英语作文
- 攀登英语作文中考陕西
- 跑步鞋男推荐中考英语
- 浦城县中考英语卷子
- 平度英语中考人机对话
- 浦东一模卷中考英语
- 邳州中考英语满分多少啊
- 普陀中考二模英语试卷
- 凭什么将英语踢出中考
- 莆田中考英语2022难度
- 莆田卷子中考英语作文范文
- 全世界都在找你
- 七天七夜
- 祈祷你像英勇的禁卫军
- 浅浅的笑
- 情绪到这
- 清词潮牌嗨曲
- 悄悄来的那个人是你
- 裙姊
- 清晨早安
- 千里夺隘破金城
- 枪炮小曲
- 清平误
- 倾靖
- 情断西域
- 前夫
- 轻松的音乐
- 全世界飞翔的鸟
- 去问猫耳朵
- 七夕的红月亮
- 亲爱的青春
- 情医
- 寝しなのおはなし
- 枪声卡点
- 请别再骗我
- 情深已故
- 汽车修理工
- 抢先
- 清醒温柔知进退
- 强大なるクッパ大王
- 强势甩头
- 如懿传免费收看
- 如懿传乌拉那拉氏
- 如来神掌电视剧演员表
- 人道大圣陆叶
- 人民的名义全集在线看
- 人生必看的三部电影
- 人教版七年级上册英语书
- 日本产的车有哪些牌子
- 瑞倪维儿清轻茶的功效
- 人鳗全文免费阅读
- 如何管理好自己的员工
- 人生感悟经典句子2020
- 如何培养自己的想象力
- 入门级
- 日语五十音图谐音
- 如何查询自己的原神账号
- 日语自动词和他动词的区别
- 如果爱还在的歌曲
- 日语发音歌
- 如何经营两个人的婚姻
- 热门历史小说
- 人际交往团体心理辅导方案
- 人教版初二下英语知识点
- 日语浊音
- 日式荞麦面条
- 如果把西游记倒过来看
- 日语1000句常用语
- 肉香四溢的古言
- 如何挽回摩羯座
- 人世间原著在线阅读
- 水浒传谁三打祝家庄
- 什么东西可以改善皮肤干燥
- 深圳试管大约多少钱
- 送东阳马生序三行对译
- 生日送给妈妈十佳礼物
- 手机声音突然好小
- 三国演义听故事少儿版
- 少年天子
- 伤感说说
- 收听一年级的小豆豆
- 谁让他修仙的!小说最新全文
- 送老师离别的话
- 宋晓峰小品2019
- 睡前故事白雪公主的睡前故事在线听
- 搜索歌曲大全
- 失眠搞笑句子能笑死人的说说
- 诗经好句子
- 宋颜楚尘全文免费阅读全文
- 失街亭空城计斩马谡
- 萨克斯柯南铃声
- 三年级数学书上册课本人教版
- 搜狐视频在线观看电视剧
- 十大品牌首饰有哪些
- 杀神石岩小说免费阅读
- 三国第一狠人小说无弹窗最新章节
- 孙鑫
- 塞尔维亚自由行旅游攻略
- 诗词朗诵沁园春雪
- 身骑白马歌曲
- 什么瓜洲一水间古诗
- 太荒吞天诀 完本免费阅读
- 徒弟看师傅唱儿歌
- 听说姻缘命中注定
- 童声唱好听的儿歌
- 台北人原文阅读
- 听骆驼祥子小说
- 天衣无缝48集免费观看
- 太阳直射现象出现在哪里
- 醍醐一梦
- 唐诗三百儿歌
- 甜甜的人儿歌曲原唱
- 唐诗儿歌联唱江南
- 听免费宇宙护卫队上
- 跳个双人舞
- 他那么撩漫画完整版全集免费
- 糖糖姐姐
- 天上飞的是什么,鸟儿还是花朵
- 泰山九龙拉棺是什么小说
- 汤姆·索亚历险记推荐理由
- 陶冶情操修身养性
- 听儿歌和玩具的区别是什么
- 他知道风从哪个方向来电视剧
- this怎么读英语
- 汤姆索亚历险记的英文梗概
- 腾格尔的歌
- 童谣儿歌春夏秋冬
- 替儿子诵地藏经怎么回向
- 天若有情2之天长地久
- 太极拳左右倒卷肱
- 天使爱美丽在线观看
- 王自健相声最新一期
- 网上的家庭教育
- 温州鼓词陈怡丹多少岁
- 汪姐姐唱的快板
- 武大郎殡天相声全部
- 王彤随风相声
- 温州鼓词羽袍第一集
- 我爱我唱大鼓是哪一集
- 为了看岳云鹏说相声
- 物业管理相声
- 温州鼓词狄青五虎将传
- 温州大鼓将军令
- 温州鼓词拜月亭第二集
- 温州鼓词大全陈小宝
- 吴京岳云鹏孙越相声
- 我们家庭教育
- 我要听孙小宝的二人转
- 无人生还说书
- 吴东新二人转
- 我要充实相声
- 王传林评书混混儿论
- 温州鼓词戴飞云英唱英列传
- 王婆骂鸟评书
- 温州鼓词五女兴唐08
- 温州鼓词瑞安鼓词九战连珠
- 王声超长相声集
- 我要离家出走相声
- 王声相声文稿
- 为党的生日编段长快板
- 芜湖减薄公司环评书
- 小学生提高英语水平怎么学
- 小学生用月亮造句英语版
- 小学生在家做家务好吗英语
- 小学生父母英语单词对话
- 小学生学写英语句子技巧
- 小学生新概念英语讲师名单
- 小学生怎么来记单词的英语
- 想给小学生讲英语的理由
- 小学生英语课堂pk方式
- 小学生必须被骂吗英语作文
- 小学生英语早教英文歌
- 小学生英语太简单了怎么写
- 小学生和老师的英语怎么写
- 小学生英语语法动词变化
- 小学生做英语读写训练好吗
- 小学生如何学会英语句子
- 小学生三大爱好有哪些英语
- 小学生的英语单词和词组
- 小学生常见各项运动英语单词
- 小学生英语翻译用什么机器
- 小学生可以游泳吗英语翻译
- 小学生足球队获得冠军英语
- 小学生英语日常表格怎么做
- 小学生英语作文4篇怎么写
- 小学生把英语换成中文搞笑对话
- 小学生不喜欢写作业吗英语
- 小学生初学英语字典怎么样
- 小学生看的英语情景剧
- 小学生需要看古文么吗英语
- 小学生所有的暗号英语翻译