垂线的公理

中垂线全称为垂直平分线，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。它是初等几何学科中非常重要的一部分内容。垂直平分线将一条线段从中间分成左右相等的两条线段，并且与所分的线段垂直(成90°角)。

中垂线性质：

(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段。

(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(4)垂直平分线的判定：必须同时满足直线过线段中点；直线⊥线段。

中垂线的意思：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

性质：

1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

4、垂直平分线的判定：必须同时满足直线过线段中点，直线⊥线段。

垂直平分线的画法如下：

1、画出中线。

首先用笔在白纸上有间隔地画出A和B两个点，然后用直尺把它们连接起来。

2、画出量距离。

接着用圆规量取它们之间的距离。

3、画出取点连接

最后用用圆规画出圆弧描取点C和D用直尺把它们连接起来，一个简单的垂直平分线就画好了。

定义：

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。 

如图1，N是AB的中点，过N点作MN⊥AB，则，MN为AB的垂直平分线。

性质：

(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段；

(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三镇和个顶点的距离相等；

(4)垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段。

逆定理：

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 

如图1，已知N是AB中点，MN是AB的垂直平分线，平面上一点P满足PA=PB，证明：P在MN上。

解：

∵MN是AB的垂直平分线

∴AN=BN

∵PA=PB ，PN=PN

∴△PAN≌△PBN

∴∠PNA=∠PNB

∵∠PNA+∠PNB=180°

∴∠PNA=∠PNB=90°

由于过平面上一点，有且仅有一御尺盯条直线与已知垂线垂直，故P在MN上。

该逆定困嫌理得证。

向左转|向右转

垂线的定义是当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

垂线的定义中，首先要有一条直线，这条直线与另一条直线相交，形成了四个角。这四个角中，必须有一个角是直角。也就是说，两条直线相交后，它们之间的角度关系必须是90度。

当满足上述条件时，我们称这两条直线互相垂直。这意味着它们之间的关系是垂直的，或者说它们之间的角度是直角的。

一条直线被称为另一条直线的垂线。这意味着，如果我们选择其中一条直线作为基准，那么另一条直线就是垂直于这条基准直线的。两条垂线的交点被称为垂足。这是两条垂线相交的点，也是我们定义垂线的关键要素之一。

垂线的定义中强调的是两条直线之间的关系，而不是单独的直线。也就是说，必须有两条直线相交并形成一个直角，才毁枝能说它们是互相垂直的。垂线的定义并不要求两条直线在同一平面内，它们可以在不同的平面内相交并互败余搭相垂直。

垂线举例：

1、房子的墙壁与地面：在大多数情况下，房子的墙壁与地面是互相垂直的。这意味着，如果我们把地面看作一条直线，那么墙壁就是垂直于地面的直线。

2、电线杆与地面：电线杆通常是垂直于地面的，可以把地面看作一条直线，电线杆就是垂直于这条直线的另一条直线。

3、树木与地面：大多数树木的主干是垂直于地面的，可以把地面看作一条直线，树木的主干就是垂察拿直于这条直线的另一条直线。

4、书的边缘与桌面：当我们把一本书平放在桌面上时，书的边缘通常是垂直于桌面的。这意味着，如果我们把桌面看作一条直线，那么书的边缘就是垂直于这条直线的另一条直线。