133.133-教学音频-知识点——原函数的概念(P133)

函数，那么对于原函数，它实际上跟我们的求导运算啊是对应的。那么什么叫做原函数呢？书上呢已经给大家了，那么在这里呢，我也把它抄录下来了。定义是如果在一个区间挨内啊，这个区间A类可导函数大FX的导函数我已知微小FX。那么也就是说呢，啊，对于在屈原上的任意点X军队啊。大F球导等于其对应的导函数F小FX，那么我就称大FX为小FX的原函数啊，源函数。所以什么叫源函数呢？它就是这样一个求导关系啊，比如啊，比如已知大F啊，它的导函数等于小FX。那么我就称什么呢？大FX啊，则称大FX为小FX的原函数啊，原函数。当然了，我们严格的来定义原函数呢，它必须有个什么呀，有个区间上的概念，因为我们求导也是在一个区间来求导的吧。所以呢，在一个曲线I上，如果一个函数和它导函数这样一个对应关系是明确的，那么我们就称被求导函数是求导之后的函数的什么呀。

原函数吧。啊，好，那么呢，我们再来看看啊。再一些相关的例子，已知三一X，它的导数是扩三啊。那么根据我们的定义，是不是三页就是扩三页的一个原函数呀？对吧？并且啊，另外一个，我对这样一个论对数函数求等哈导函数我们知道是等于X1/4吧，那么我是不是就称呢？啊，LOGX，它就是X分之一的什么函数啊，一个原函数吧。只是说呢，因为NON X它必须要X大于零，是不是？所以我们定一个区间啊，NON X是零到正无穷这个区间上关于X分之一的一个原函数啊。一函数。那么在书上呢，他给出了啊，什么样的条件下存在的原函数啊？实际上这个条件呢，比较的啊，简单也是在某个区间，哀伤啊哀伤。如果小FX在其上是连续的话啊，在区间I上是连续的话，那么我们则有什么呢？该区间上面小FX，它必定具有原函数大FX啊，大FX，那么就是我们谈到的第二个啊，存在性啊。那么若小FX在区间埃上连续吧啊，在去年，按照连续则什么呢？小FX在对应的区间I上有它的原函数啊。

G大FX使得什么呢？使得大FX的导函数等于小FX啊，小FX这个呢，就我们谈到的原函数的存在定理啊，原函数的存在定理。所以呢，大家以后啊，凡是判断一个函数有没有原函数，就是判断什么，就是判断这个小FX它具不具备连续的特点吧。这里呢，我也大家说一下啊，一个函数它是连续的，那么根据我们的存在性定理，它的原函数已经存在了吧？但并不是说该原函数可以被我们通过这样粗的函数来表示啊。并不这么说的啊，因为呢，在我们书上的最啊这一章的最后一节呢，里面举了几个例子，虽然它也是连续函数，但是它的原函数虽然存在，但是呢并不能够通过我们的初等函数来表达啊。这个呢，大家呢在留有一个印象啊就可以了啊。所以呢，简而言之呢，就是连续函数啊，它一定具有原函数啊。那么有这样一个问题，既然我们说连原函数它存在啊，是当它的导函数是连续的。

那么反过来，如果一个函数它连续的，那么它的原函数存在。问大家了，它的原函数是否是唯一的呀？肯定不是的，是吧？因为我们知道啊。以这样例子而言，三X它的导函数是扩三，是吧？那么三X加C任意常数C啊，它的导航数呢？也是扩散一半，说明什么问题啊？说明三X和三X加C均是扩三X的原函数，那么这两个原函数明显差一个常数C吧？说明什么问题啊？说明原函数存在，但是原函数它不一定唯一，是不是啊？不一定唯一，那么它不唯一，它们之间有个什么样的关系呢？从我们这个例子来看，三X跟三X加C有什么关系啊？是不是存在一个或者相差一个什么呀，常数C吧啊。那么我们现在呢啊，猜测啊，猜测什么呢？就是一个函数如何原函数存在的话，那么原函数之间相差一个常数C啊，常数C好，这里呢，我们谈到的啊，关于原函数的几个性质，几个性质，第一个啊，第一个，如果啊，大FX，它的导航数啊。哼，我写到这里啊。性质一，如果大FX，它是小FX的原函数啊。则什么呢？大FX加上任意常数C，也一定是什么呀？也一定是小FS的约函数，那么也就是什么呀？也就说原函数之间就像这个常数C吧。这个罪名是很简单的，因为大F竟然是小的原函数，那就对大F求导等于小F吧。

那么一样的，我对大F加C一球导。根据我们的球导法则或球导运算法则，它是不是人等于小F啊？所以啊，所以大F是一个原函数，是小F的原函数的话，那么大F加C呢，也必然是小F的原函数。好，再看第二个性质啊，如果我已知啊，已知大FX与GX它均是小FX的啊。原函数则什么呢？大FX与GX之间仅相差一个什么呀，常数C啊，常数C。那么从通过这两个性质啊，通过这两个性质，大家呢可以有这样一个结论了，原来一个函数如果它的原函数存在。那么这样的原函数带上任意常数C也必然是这个函数的一个原函数吧。啊，将我们性质一所言，性质二呢？它的证明怎么证明呢？是不是一样的呀？来想想我对大F碱基对它是什么呀？求导吧。根据我们函数的求导运算法则，有限个函数和差的档数等于什么？导数的和差是不是？所以大F减基的导数等于大F一撇减去基一撇。那么因为大F跟G呢，都是小F的原函数，所以大F的导数，打击函数的导数都是小FX，所以我们得到了啊，大F减去机这样个差的倒数等于多少啊？等于零。

那么根据我们导数里面的性质知道，如果某一个表达式的导数是零的话，该表达式一定是什么呀？常数C吧。所以啊，我们说呢，F根基啊。它如果是某一个函数或同一个函数的啊原函数，那么这两函数之间仅相差一个任意场数啊，像任意场数。好，我们再来看看啊一相关的例子啊，大家看看这里已知啊，三E X的啊，1/3的X3次方啊，它的导函数等于X的平方是吧？这个我们求导一个非常熟悉的，说明什么问题啊？说明1/3X3次方四X平方的一个原函数吧。那么我把这1/3X3次方带上任意常数C，是不是也是X平方的一个原函数呢？显然是的，一样道理。1/2的三引二X啊，它的导数等于扩散页二S，说明什么呀？说明3亿二X乘上1/2这个函数是扩散二X的原函数，那么132/2X这个原函数加上任意常数C。也必然是扩散RX的一个原函数吧。那么再看看下面这个以至X三函数，它的档函数等于什么呢？根号下一减还是平方分之一吧。

那么RX三X加C的导数呢，也必然是根号下一减平方分之一是不是啊？说明什么问题啊？说明阿格三X是这样一个啊，根号下一减平方分之一的语言函数，那么阿格三X加C也必然是根号下一减平方分之一的一个远航