正向和反向是一对双胞胎

微积分的三大核心问题。为了给后面的讨论做好准备，从一开始，我们的头脑中就必须有一幅大的图景。微积分有三大核心问题，一是正向问题，已知一条曲线，求它各处的斜率。二反向问题，已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。三，面积问题，已知一条曲线，求曲线下方的面积。好，我们可以用两种方式来看待这条曲线，一种是老方式，一种是新方式。在十七世纪早期微积分出现之前，这类曲线都被视为几何对象，它们本身就令人着迷，所以数学家试图量化它们的几何性质以至一条曲线。他们想要算出曲线上每一点的切线斜率，曲线的弧长和曲线下方的面积等等。

到了21世纪，我们对产生曲线的函数更感兴趣它能为通过曲线展示出来的某个自然现象或工艺流程建模尽管曲线是数据。但支撑它的却是更深层次的东西。今天我们会把曲线看作沙滩上的脚印或者其形成过程的线索。我们更感兴趣的是函数建模的过程，而不是它留下的踪迹。这两种观点之间的碰撞，即使曲线之谜和运动之谜，变化之谜的碰撞，也是古代几何学与现代科学的碰撞。尽管我们身处现代，但由于对XY屏面太熟悉了，所以我选择用更古老的视角去看待曲线问题。XY平面为我们理解微积分的三大核心问题提供了最清晰的方法。当我们用几何术语提出这三个问题时，它们马上就会变得直观起来。这些问题应该从函数的角度去阐释。

换句话说，当我谈到曲线的斜律时，我指的不是一个特定点的斜律，而是硬义一点的斜律。不同点的斜率不同，我们的目标就是为了了解斜率作为X的函数是如何变化的。同样的，曲线下方的面积也取决于X，这个面积也应该被看作X函数。当X增加时，垂直的虚线向右滑动，面积随之扩大。以上就是微积分的三大核心问题，那么如何算出曲线的不断变化的斜率呢？如何根据斜率重建曲线呢？如何算出曲线下方不断变化的面积呢？在几何学背景下，这些问题听起来相当的枯燥无味然而一旦我们用21世纪的视觉去看待运动问题和变化问题在现实世界中重新诠释它们它们的影响就会变得非常广泛和深远斜率衡量的是变化率。而面积衡量的是变化的累积量。如前所述，斜率和面积会出现在物理学，工程学，金融学，医学等长期关注变化的所有领域。理解这些问题及其解决方法，可以开启现代定量思维的世界。

为了让大家有一个充分的了解，我应当指出，微积分的相关内容还有很多，比如多元函数和微分方程等等，到适当的时候，我们再对这些内容进行讨论。这一次呢，主要介绍的是一元函数及其导数。从以恒定速率变化的函数讲起，再转换到以不断变化的速率变化的函数。理解不断变化的变化才是微积分真正的闪光之处。在习惯了变化率之后，我们就可以着手处理变化的累积量问题。这个更具挑战性的课题将放在下一节考虑。到那时，我们会发现，尽管正向问题与反向问题看起来不一样，但他们是一出生就被分开的双胞胎。这个令人震惊的事实被称为微积分基本定理，它揭示了变化率和变化累积量之间的关系，比所有人认为的更密切。

这一发现是微积分的两个部分成为有机的统一体不过，我们还是先从变化率说起吧，