276.276-教学音频-知识点——直角坐标下二重积分化为二次积分(P276)

现在开始上课。本堂课我们学习第九章第二节二重积分的计算。在上一节，我们学习了二重积分的定义以及性质。二重积分倍极函数FXY积分区域地。那么关于这个二重积分，根据我们目前所学的知识，我们可以判定出它的符号。比如我们知道在积分去地内FXY，它始终大于等零，那么这个二重积分也是大于等。您如果在积分区域地内FXY是小于等于零的话，那么二重积分也是小于等于零的。

我们可以根据相关的信息把它的符号给它判定出来。对于有些二重积分，我们可以利用估值公式对它来进行估值。那假如我知道FXY在积分区域地上的最大值和最小值，那么我们可以估计，I是介于这两个数之间。这是在我们上一节所学的知识。给我一个二统积分我们可以做的操作。那如何计算二重积分，如何把它的结果给算出来？我们这是我们这一堂课要为同学回答的问题。二重积分的计算会跟我们定积分的计算联系起来，那二重积分与定积分之间的联系又是什么？在听课的时候，我们注意思考，二重积分计算会涉及到直角坐标和集坐标两种情形及坐标，留作下一节讲解。首先我们来看一下积分区域。定这两种积分区域实际上我们可以把它归为一类，那这一类积分区域的特点就是用平行于Y轴的直线穿过这个区域。

那么它的特点都是从Y等于FIX串G，从Y等于F二X穿出都是这样一个特点，用平行与Y轴的直线穿过这个区域。那么这两个区域我们选其中一个给大家放到这里来，就是积分区域地，它是有一定的特征的，那么这个特征我们要进一步给他分析。大部分情况下，我们看到的是说，由Y等于FI一，X Y等于FI二，X X等于A， X等于B。所为区域一般都是这样来叙述的那么我们要把这个区域用一种不等式组给它描述出来，那这个不等式组的分析方法希望同学能够掌握。我们来看黑板，用平行于Y轴的直线穿过这个区域来看一下。在这一点，X零加入穿过这个区域，那么这一段线段都在这个区域里面。也即使说，那么这一段线段是谁呢？就是X等于X零，然后Y大于等于F一X零，小于等于八二X零，那我现在要想把整个区域给它描绘出来。怎么办呢？那就是让这条红色的线从X等于A点开始，一直挪到X等于B这一点，这样就扫过了整个区域。

所以在这里呢，我们请同学理解，为了我们下面的通常的叙述写法，我们这里就是一个点X，那么X对应的这块线段就是FI一XFI二X。那么X的取值范围又是什么呢？这就表示这块线段了，要想扫过整个区域，是X，大于等于A，小于等于B，扫过整个区域，这叫积分区域的不等式组表示，并且我们把这种叫做X型区域。再来描述一下X型区域的特点是什么呢？就是用平行于Y轴的这条直线穿过这个区域，都是从Y等于FEX进去，从Y等于翻二X穿出来，那它的不等式组表示就有这样的一个特点。对于这样一种情形，下面我们来讨论一下二重积分的问题。二重积分它是从几何上来说，表示以地为底，以曲面Z等于FXY为顶的曲顶柱体的体积。当然这个时候是FXY大于等零。

那么有这样一步一个特征，那么有这样一个结论。下面我们来看一下这块体积如何给它运算出来呢？这个运算过程用到我们上学期所学的，而在电积分应用当中学到的平行截面面积为已知的立体的体积的计算方法。同学可以回忆一下，就是这个式子。我们划过这样一块区域，这样一个图形，一个不规则图形吧。那么，在如果我们知道它的截面任意一个位置处表达式，这是X轴从A到B。假如这是零，那么它的截面X处。接下来假如是这样一个形状，这样一个截面A X AX已知的情况下，那体积为就等于A到B小FX。

这里不是小FX，是A到B AXDX，这是我们在前面学习的时候给大家的公式定积分的应用。那我们忘了的同学回去看一下。对于这样一个曲顶柱体，我们现在也来给他结一下结出来的这一块儿截面就是这块红色的区域。如何给它把面积表示出来呢？我们来看一下用X等于X零这个平面去截的话，截出来的这一块儿图形，实质上也就相当于是在X等于X零这个平面上的一块区域的面积。那么我们也可以把它平移过来，就相当于在Y O Z面上这样一个区域。那么这块儿给大家画一个平面图形，让大家来看一下平面图形。假如这是Y，这是这，我们把这块红色的区域搬到这个图形上来看，Y的取值就是翻译X零到FI二X零上面这块曲线就是它这一条曲线。Z等于FXY，那么这条曲线呢？所有的X都等于X零，所以就是什么呢？就是他，我们把它搬过来，上面的这条曲线也既是Z等于F X零Y。

那同学看一下，如何把这块儿截面的面积表示出来呢？也即使说AX零等于多少，把这块儿记做A X零，是不就是用我们定积分的知识可以给它解决定积分的知识AX零。也即是从翻一X零到翻二X零对它去做积分，所以AX零等于翻一X零Y二X零F X零YDY。你看，对于这样一块空间体，我们可以把它的截面面积给它表示出来。那么当然，我们在这里是为了同学看得清楚，理解他们各自所处的位置以及表达的意思，我们用的是X等于X零来解。实际上在AB这一段上呢，任意一个位置所得到的截面面积表达式应该是谁呢？那么就是AX等于FEX FI二XFXY DY看同学能不能理解我们从AX零让你写出来AX X是什么呢？X就是在AB之间的一个取值。那么这样的话，我们根据所复习的这个知识，相应的曲顶柱体的体积就可以给它写出来。

我们仍然为同学写到黑板上来，V也既是谁呢？就现在这块体积就是谁呢？就是A到B AX DX也就是什么呢？就是A到B AX，就是这块翻一X，翻二XF XY DY在DX。那这个V是谁呢？微就是我们的二重积分，也就是曲顶柱体的体积，就等于FXY在积分区域地上的二重积分。好，请同学看一下我们黑板上的这个表达式，在对照来看一下幻灯片上的表达式，那幻灯片上把它写成A到BDX FIX。到FI二XFXYDY。实际上这是一种约定，因为中间这块儿倍积函数比较长，所以约定呢，把它放到后面来了，实际它应该是处在倍极函数这个位置。

所以这样的话呢，我们同学看一下，当我把这个定积分给他，做完之后，那是不就变成了关于X的一个表达。是因为对Y做积分嘛，那么做完之后就是关于X的一个表达式，那么再对X做定积分就做出来了。所以二重积分实质上呢，它是做两次定积分，所以我们目前得到的这个式子，我们就把它称为是二重积分，化为先Y后X的二次积分。把它称为这样一个形式。那我们同学再来看实际上这个二次积分的积分上下线，同学看一看，这里的积分上下线，是不就是我们在这里对积分区域地来进行分析的时候得到的式子YFIXFIXXA到B。这个恰恰就是它们的上下线。所以分析到这里，我们知道二重积分化为二次积分的关键是什么呢？就是根据它积分区域的特点，把它的不等式组给它写出来，那么相应的二次积分也就写出来了。这是需要我们同学去理解的。如果积分区域是这样一种情形，那么这种情形它又是一个什么特点？我们同学可以先看一下这种情形，它的特点就是用平行与X轴的直线穿过这个区域，都是从FI与Y穿进，从翻二Y穿出，都是这个特点。

大家看两个图形用平行与X轴的直线穿过这个区域。它的特点，我们把它画到黑板上来。这是Y的曲直，C到D这一条线是X等于翻一，Y X等于BY二Y。那我们怎么分析呢？平行与X轴的直线穿过这个区域，它的穿进穿出情况都是一样的。那么我们把这种区域用不等式组给它写出来，首先把这块线段来表示出来，就是X大于等于翻译，Y小于等于发二Y首先把这块来表示出来。然后再让这块线段从C移动到D，扫过整个区域，是不是就把整个积分区域地给他描述出来了？所以怎么叫扫过呢？Y取值从C到D，快来看一下。那对于这种区域，我们给他一个称呼，叫做Y型区域。那弯形区域同学可以看一下相对于X型区域的这样一个分析方法，我们可以得到Y型区域它的二次积分形式是先X后Y的积分。

其中X的上下线也就是FIVEY翻二Y Y的上下线。CD同学看一下是不就是我们积分去D的不等式组一旦表示出来了，那么这个相应的二次积分就可以把它来写出来。以上我们为同学分析了，根据积分区域地的特点，我们把二重积分划为二次积分，那么它是一种是先Y后X，一种是相X后Y。那么如果既不是第一种，又不是第二种，怎么办呢？那么我们就要利用二重积分的区域可加性，把它分割成若干个区域，再来进行处理。下面我们把它总结一下X型区域的特点，我们说是用平行于Y轴的直线穿过这个区域，那么都是从翻一X进去，从翻二X出来。那么实质上我们幻灯片上画了两个图形，一句话来说，穿过区域且平行于Y轴的直线与区域边界相交。不多于两个焦点。

对于Y型区域呢？它的特点是穿过区域且平行于X轴的直线与区域边界相交不多于两个焦点。那我们不要同学把这两句话背下来，我们要同学是拿到一个图形，能够识别出来它是X型区域还是Y型区域。那么这两种二次积分的形式我们再来给大家强调一下，这一块儿实际上是DX这块儿前面的背极函数形式约定放在后面。那么这一块儿也是应该在DY的前面，这个位置约定放在后面。那么我们为什么要强调这一点呢？都把这个关于Y的积分做完，那么它就是关于X的一个表达。是这个时候我们再把它放到它该处的位置上去。下面我们通过例子来为同学讲解那区域分割的时候，那么分割的依据是什么呢？分割的依据我们同学可以这样理解，实质上，我们是把非X型，Y型区域通过分割，使得它变成几个X型或者Y型区域。

也即使说，在直角坐标系下，我们当我分割为X型或者Y型区域了，那么我就可以进行操作了。通过例子来体会，倍极函数是XY，积分去定它是X等一，Y等于X，以及Y等于二所为的B区域X等一。Y等于二，Y等于X，那么这样画出来一个小直角三角形，这个并不复杂。对于这个小直角三角形，团员开始想问题的时候就是用平行于X轴或者Y轴的直线去穿过这个区域。看看它的特征。实际上这个题目啊，两种类型都符合，那么往往我们首先考虑X型区域。X型区域就是用平行与Y轴的直线去穿过这个区域，然后把它的不等式组给它写出来。同学看，用平行Y轴的直线穿过这个区域，都是从Y等于X进去，从Y等于二出来，然后扫过整个区域，就是X大于等一，小于等于二。那么我们同学刚开始做题的时候呢，就先把这个呃不等式组表示先给它写出来，就是积分。

区域地的不等式组表示先给它写出来，然后再来写二次积分。那二次积分呢？所以X型区域化成先Y后X的二次积分，我们第一个计算的时候注意X是常数，对Y做积分，所以X到二XYDY。那么基础来是什么呢？就应该是这块柿子二X-2分之X^3这块柿子。实际上这一步我们同学可以不要这一步，它这是一个求出原函数代入这个可以不要直接把基础来的这个备记函数给它写出来。并且放到它该处的位置上去，然后再做一次关于X的积分，得出结果9/8，这是我们视为X型来求解。

那为了同学体会做题的方法，我们讲解视为Y形区域就是用平行于X轴的直线去穿过这个区域。你会发现它都是从X等于一进去，从X等于Y出来，也就是X大于等于一，小于等于Y，那么扫过整个区域Y大于等于一，小于等于二，是不这样一个特点？那当我把这个不等式组找出来之后，二次积分相应的也就可以写出来了。计算关于X的定积分，就得到了这样一个表达式。那么再进一步计算，算出结果9/8。同样的这一步我们同学可以不用出现，因为随着做题的复杂，那么我们有些过程要学会省略。这样一个问题呢，就告诉我们二重积分进行计算的一个基本的思路，先来判断积分区域的形状，再来把它的不等式组写出来，然后再来进一步算出它的相应的结果。实际上是要经过两次定计分计算。

例二求二重积分X方加Y在积分区域地上，这样一个积分D呢？它是由抛物线Y等X方和X等于Y方所为平面B区域。一起来看一下X等于Y方，Y等于X方两个抛物线所为区域，那么这个焦点是很关键的，所以我们把焦点求出来零零一一这两个焦点。那得到了这样一个图形，那么这个时候我们用皮形Y轴的直线穿过这个区域，看看它的特点。因为我们如果只看区域的话，我们习惯上先考虑先Y后X的积分。那用平行Y轴的直线穿过这个区域，你会发现呢？它都是从Y等于X方进取，从Y等于根号X出来，而且他X的取值范围呢，就是从零到一。

所以这样的一块儿平行与Y轴的直线帮助我们去思考找到。那这个时候呢，我们可以来进行相应的计算，先对Y做积分，然后再把上下线给它代入，计算出来表达式，再对X做积分，那么计算出表达式来一百四十分之三十三。那我们同学可以看到这个题目，那么我也可以考虑用先X后Y来进行处理。当然，具体一个问题，只要我能够把它计算出来就可以了。这是我们的例二。再来看例三二重积分E的负Y方，那么积分去D呢？是由直线Y等于X Y等一以及Y轴所为我们可以看这个图形，那么它仍然是既可以看作是X型区域。又可以看作是Y型区域。

那么到底有哪一种呢？我们习惯上是首选X型区域来进行讨论，我们例二也确实是这么做的，那么例三呢，是想告诉大家，如果我首选X型区域来进行讨论的话。那么我就是先Y后X的积分，你会发现倍积函数亿的负Y方，那么我们对Y去做积分根本就做不出来。所以看一下这个题目的解答，由于E的负Y方DY不能够用初等函数来计算出来，所以在此我们只能用Y型来进行求解。那弯形来进行求解这个题目也不需要分区域，可以直接给它写出来，用平行于X轴的直线穿过这个区域都是从我们的Y轴就是它X等零穿进去。从X等于Y穿出来。然后呢，在Y的取值是从零到一。那么这样的话呢，我们知道I等于零到一，DY零到Y E的覆外方DX。当我去对X做积分的时候，有关Y的表达是相当于是常数，所以我们同学可以给他计算下去，那么是Y E的负Y方进一步就算出来了1/2倍的1-1的-1。

那我们同学注意例三告诉我们，倍积函数决定了我们的积分次序，不管这样做是简单还是繁琐，只有通过先X后Y才能给它做出来。例四计算二重积分倍积函数是SCIENCEINX比上X积分区域D呢？它是Y等于X Y等零，X等于派所围成的B区域。那这个例子我们选择的仍然是想让同学体会一下。如果你学得比较扎实的话，你会知道SCIENCE X比上X。对于X来说呢，它也是记不出来的。那么也即使说呢，我们由倍积函数可以知道，我们只能采取先Y后X的积分。先X后Y那是不可行的，只能采取先Y呃后X的积分，也就是把积分区域D视为X型区域才能够做出来。那把积分区域地视为X型区域，我们可以用皮洗于Y轴的直线穿过这个区域，那么它都是从Y轴X等零进去，从X等于拍出来啊。不对，我们从用平行Y轴的直线穿过这个区域，都是从X轴进去，从Y等于X出来，是不这样一个穿进穿出情况？再来扫过整个区域，那么X呢？就是大于等于零，小于等于派。

因为幻灯片上的这个格式跟我们通常的这个格式不一样，所以刚才为大家解释错了。一般我们习惯上是这样来写，那我们把它不等式组给它写出来之后，我们就可以把二次积分给它写出来。等于什么呢？先Y后X的积分。那同学可以看一下零到派DX，零到X三INX比上XDY。按道理应该是这样一个样子，那而我们在这里看到的表达式是什么呢？他把这个SAXDX放在了这个位置，这是为什么？为什么可以这样来处理？我们可以来思考一下，由于当我对Y去做积分的时候，关于X的表达是相当于是一个常数，那么常数积分可以提到积分号外面去。所以我们就直接把它放在了这个啊，被积函数这个位置，SCIENCE X比上X直接放在这个位置上。那么这样的话呢，我们可以对它进行积分处理，那么就变成了零到派沙译XDX再做一次积分。就算出了它最后的结果是二。那么以上是我们就二重积分化为先Y后X，先X后Y两种二次积分为大家讲解了原理和具体的例体。

那么我们总结一下就是到底选择哪种积分次序呢？要根据积分区域的特点和倍极函数的特点，二者结合起来，帮助我们去决定做题方法的选择。那我们先讲到这里，下课休息一下。我们也知道了二重积分，它可以化为先Y后X的积分和先X后Y的积分，那么这两种积分次序的选择，它是依赖于积分区域地的特点和倍级函数的形式来决定到底选择哪一种积分次序。下面我们接着来看例子，第五I等于这样两个二次积分加起来，那么这个题目我们来看一下，它实质上是先X后Y的这样一个二次积分倍积函数为E的YBX同学会发现。E的YB X对X去做积分，Y相当于是常数，那这个积分我们是做不出来的。

所以要想把这个积分做出来，我们需要想办法把它划为先Y后X的积分。那么怎么画呢？实际上这个地方就涉及到一类题型，叫交换积分次序，把先X后Y的积分变成先Y后X的积分。那这里就一个问题，怎么把积分去递找出来？找到积分区域地，我们再把它用相应的不等式组给它描绘出来。那同学看一下，实质上在立武这个地方，我们所找到的知道X是大于等于1/2，小于等于根号下Y Y呢？是大于等于1/4，小于等于1/2。我们知道的是这个信息，而这个信息同学看幻灯片上它所指的是哪一块呢？我们可以发现，它所指的就是这块区域，就是下面这块区域。

第二块儿呢，是X大于等于Y，小于等于。根号下Y Y大于等于1/2，小于等于一。那么这是哪一块儿？就是这一条线上面的这一块儿，Y等1/2上面的这一块。哎。所以我们目前呢有两个不等式组，找到了两块区域，这两块合起来，也就是我们的积分区域定。这样我们再把积分去定用先Y后X的形式给它写出来。

那么也就是说，我们找到积分去地之后，我们再来重新把积分去递用不等式组给他写出来。那就是用什么呢？用平行于Y轴的直线穿过这个区域。那么同学会发现呢，我们写出来的这个不等式组就是Y大于等于X，方小于等于X X，大于等于1/2，小于等一。那么我们发现就是这样一个特点，所以这样我们同学就可以把先Y后X的积分给它写出来。那写出来之后，我们再来看E的Y点，X对Y来做积分，那么就可以操作了。

所以算出来它的倍极函数形式X，乘上一减一的X，然后再给他计算出来。所以对于交换积分次序这类问题，实际上对我们来说呢，是学习的一个难点，相当于我们从题目当中给的信息当中把这块区域找出来。这就是一个难点。那么我们为同学解释分析的方法，再来给大家看一下，我们找到第一它是什么样子啊，就是XY的这样一个范围，Y大于等于1/4，小于等于1/2H它也是可以直接读出来。大于等于1/2，小于等于根号下Y。这是我们见到这个二次积分就可以给它分析出来的。然后第二这块区域是什么呢？是大于等于1/2，小于等于一。

X呢？是大于等于Y，小于等于根号下Y。看到这两块区域，那么这两块区域合起来，我们画出了幻灯片上的这个图形。然后我们再把这个P图形用这一套不等式组给它写出来，就是Y大于等于X，方小于等于X。然后X呢？大于等于1/2，小于等一是不是这样一个过程？那么从题目当中所给我们的信息到画出图形来，到我们最后把这个D来分析出来，这是需要我们同学去思考的。如何去给它绘制这个图形呢？这是必须的，没有这个图形，你不可能把这个不等式组给它写出来。那绘制图形的时候，有一个关键点就是它，你看X等于根号下Y，也就是Y等于X方，还有Y等于X，那么这样的线是一定要画的。Y等于X，这条线Y等于X方。那么然后呢，我们说至于X等于1/2，或者Y等于1/4，Y等于1/2，Y等一，那么这些呢？它有可能是一条线，有可能仅是一个焦点，那么我们就要结合它的不等式特点，结合图形来进行确认。

那么这个希望同学课下加以的训练，再来做一个题目，改变积分次序，零到一，DX，零到一减XFXYDY，那这个题目相对来说还是要简单一些。有一条线是必须要画的，是什么呢？Y等于一减，X Y等于零，X等于零，X等一。这些线我们是根据情况来确认，所以最终我们找到了这样一块积分区域。积分区域一旦找到了，那么它的不等式组表示也就很显然就出来了。所以我们再用平行于X轴的直线穿过这个区域，就可以发现它都是从Y轴进去，从X等一减Y出来。那么Y的取值呢？零到一。所以这就是我们交换积分次序做题的一个过程。从题目信息绘制出它的图形来，再把它的这个新的不等式组表示给它写出来，那么就可以来把二次积分相应的给他写出来。

例七零到一DX零到根号下二X减X方FXYDY+1到二DX零到二减XFXYDY的次序。那这个跟我们的利物有点像。那同学仍然注意把这些必须的曲线给它画出来。这里就是Y等于根号下二X减X方，那就是圆的一部分。还有Y等于二减X是不是就一条直线？那么划出来之后，再来根据它所给我们的特点。

同学看，第一块柿子零到一零到根号下二减X实际上就是我们的这条虚线左边的这块区域，那么第二块是指一到二零到二减X。是不是就虚线右边的这块区域？假如我们清楚一点看一下，这就是第一，这就是第二，那么两个合起来就是我们的积分去定。然后我们交换积分次序，用平息于X轴的直线穿过这个区域，那么你就把新的不等式组给它写出来了。一块来看一下，应该都是从圆周进去，从直线出来，所以他相应的二次积分。你看X的下限一减根号下一减Y方，X的上限。

二减Y Y的下限，Y的上限。这是我们改变积分次序的一系列的例题。下面看一个应用体，求由下列曲面所围成的立体的体积。Z等于X加Y Z等于XY X加Y等一，X等零，Y等零。那么这些曲面所围成的空间体给大家看一下这块儿空间体，那么所围城怎么去把它的体积给它描述出来呢？体积根据我们二重积分的几何意义，同学可以看一下，实质上这块空间体围在这里，那么这块空间体它往XOY面上去投。那么投下来呢，应该是一个呃直角三角形，也就是说应该是在直角三角形下的一个积分。那么这个积分它的倍及函数是谁呢？在上面的盖着的这块顶上这块是Z等于X加Y。

下面这块曲面呢，是Z等于XY。所以我们根据它的图形，我们知道了它的投影特征。所以实际上是什么呢？哎，一个大的曲顶柱体减去一个小的曲顶柱体，一个是X加Y背景函数减去呢？XY为积分，呃，背积函数它的积分去定，我们也可以给它写出来，那么这条线是X加Y等于一这样一条线。所以我们把二重积分写出来，再来化为先Y，后X的二次积分，那么就得到了零到一DX，零到一减XX加Y减XY D Y。从而给他计算出结果来。那么对于这样一种空间体的问题，我们有些同学理解起来有一定的难度，那么当然我们会提供给同学熟悉的这样一些空间曲面。

那么便于你去分析它的图形特点，进而把表达式给他写出来。那么从这个例子，我们是告诉大家二重积分能够计算之后，我们学会了二重积分来解决空间上的这个一个几何问题。就是求空间体的体积。例九呢？我们为同学提供一个经济上的一个应用问题，某城市受地理限制，呈直角三角形分布，斜边邻一条河。由于交通关系，城市发展不太均衡，这一点可从税收状况反映出来。若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系，则位于X轴和Y轴上的城市长度各为16km和12km。且税收情况与地理位置的关系大体为RXY等于20X+10Y。那也就是说啊，你在这个三角形的不同的位置，我们收你的税的情况是不一样的。那下面我们要知道了，在整个这块区域上到底税收能收到多少呢？那我们可以来看一下积分区域地在这里，那么实际上呢，我们典型小区域上的税收是谁呢？我们找一块儿典型小区域来给他研究，那么这块点一小区上的税收啊，也是变化的。

那我们怎么办呢？以不变代变就是RXY。假设在这块小区域上是固定税收，那么在这块区域上的税为多少呢？就是税收乘上区域的面积，也既是我们在电积分的应用当中为大家讲的元素法。那么这里呢，我们得到的就是税收的元素RXYD的尔塔。那。所以我们再把它在整个区域上给它积分起来，同学也就得到了一个二重积分。同学看一下它的RXY的具体的表达式已经有了，那么D我们也清楚了，因为这一条线是可以运算出来的，这一条直角边斜边应该是啊，这个直角三角形的这一条斜边可以给它运算出来。所以我们可以运算得出结果，最后算出来它在这块区域上的积分为14080万元来。这是我们同学看到的，就是在我们学习二重积分之后帮助我们解决的一个税收的问题。当然我们同学也可以自己在下面试着用元素