2851蓝眼睛红眼睛问题

澳大利亚的华裔数学神童陶哲轩曾在网上贴出来一个问题 The blue-eyed islanders puzzle 让大家思考，逗大家玩儿。

说一个岛上有100个人，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。

他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。

一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在第二天中午自杀。

注：虽然题设了有5个红眼睛，但岛民是不知道具体数字的。(因为互相能看见，所有岛上的蓝眼睛的人知道岛上有红眼睛)

某天，有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩，所以他在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话：“你们这里有红眼睛的人。”

最后的问题是：假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？

结果，岛上在第五天后，有5个人自杀，且都是红眼睛的人，请问为什么？

此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。具体到本题则是，在第5天，这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。（尊重原题，补：其他蓝眼睛在红眼睛集体自杀后，知道自己的眼睛颜色，也跟着自杀）。

如果这个岛上只有 1 个红眼睛，其他人都是蓝眼睛。那么，当旅行者说了这句话之后，此人立刻就会知道自己是红眼睛，因为他看到的其他人都是蓝眼睛，他就会在当天自杀。即，当 n 取第一个值 n0 = 1 时，命题成立。

假设当这个岛上有 N 个红眼睛的时候，在旅行者说了这句话之后的第N天，这些红眼睛会全部自杀。

那么，当这个岛上有 N + 1 个红眼睛的时候，在每个红眼睛看来，岛上都确定有N个红眼睛，并等待着他们在第N天自杀。而在第N天，大家都没有自杀。所以一到第 N + 1 天，每个红眼睛都明白了这个岛上还有第 N + 1个红眼睛——他自己。于是大家都在第 N + 1 天自杀了。

所以命题得证：如果这个岛上有 N 个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第 N 天，他们全部都会自杀。

如果上述证明还让人有疑惑的话，也可以改用穷举法来证明。

当岛上只有一个红眼睛的时候，在旅行者说完这句话的当天，他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天，这两个红眼睛都在等着对方自杀，但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛，于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理，当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话，每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀，但他们没有自杀。所以到了第三天，大家都明白了自己也是红眼睛，就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题：如果岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说完这句话后的第N天，这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是，到了第五天，这五个红眼睛一起自杀。

但是，实际想想，旅行者说了一句“这个岛上有红眼睛的人？” 而这个事实岛上人已经知道了，所以这个问题看似是一个悖论（paradox）。

共有知识与公共知识

其实，这个问题并不是一个悖论。

首先，岛上的人，一部分人心里都知道岛上有红眼睛的人（蓝眼睛的人能看到红眼睛的人，红眼睛的人能看到其他红眼睛的人（如果红眼睛的人数大于 1）），但是，每个人并不知道其他人是否已经知道这个岛上有红眼睛。旅行者的话，也就让大家都知道岛上有红眼睛的人，并且其他人也都知道这个事实。比如说，当只有一个红眼睛的人时，所有蓝眼睛的人都知道有红眼睛，但是红眼睛的人不知道。

共有知识： 所有人都知道的知识称为共有知识。

公共知识：1.知识是共有知识，2.所有人都知道其他人也知道这个知识。