数学期望与方差的关系_理解数学期望与方差之间的群关系

2023-12-10 19:15

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2023-12-10 23:48

　　随机变量的数学期望与方差是高考的重要考点,　也是学习数学的难点。你知道两者之间的关系吗?下面就由我和你说说吧。

　　 数学期望与方差的关系

　　方差指一组数据中每个元素间的离散程度,方差小则离散程度小,反之则大.

　　期望值指一个人对某目标能够实现的概率估计,即：一个人对目标估计可以实现,这时概率为最大(P=1);反之,估计完全不可能实现,这时概率为最小(p=0).因此,期望(值)也可以叫做期望概率.一个人对目标实现可能性估计的依据是过去的经验 ,以判断一定行为能够导致某种结果或满足某种需要的概率.

　　 什么是数学期望

　　在概率论和统计学中，数学期望(mean)(或均值，亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

　　需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。(换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。)

　　公式

　　X1,X2,X3，……，Xn为这离散型随机变量，p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则：

　　E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)

　　 什么是方差

　　方差的概念与计算公式，例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X)=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

　　方差的性质

　　1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

　　2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取);

　　证：

　　特别地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值)

　　3.若X 、Y 相互独立，则证：记则

　　前面两项恰为 D(X)和D(Y)，第三项展开后为

　　当X、Y 相互独立时，

　　故第三项为零。

　　特别地

　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

　　方差公式：

　　平均数：

　　(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

　　方差公式：