一道数学题讲出的团结

从前，有一位老人，在临终的时候，他把7个儿子召集到床前，给每个儿子一支竹筷，让他们折断。每一个儿子都毫不费力地把它折断了。接着老人又将7支竹筷捆成一束交给他们，看谁能把7支竹筷同时折断，7个儿子都试了一遍，谁也没有这个本领。于是，老人抓住这个事例语重心长地教育孩子们说：如果你们7兄弟能够团结一致，同心协力，就可以产生巨大的力量，克服一切困难，外人谁也不敢欺侮你们。如果你们互不团结，勾心斗角，就会被外人各个击破，受到欺侮。老人用形象的比喻，说明了一个平凡而伟大的真理：团结就是力量。无独有偶，《魏书》中也有一则类似的寓言，题目叫做《阿豺命子弟折箭》。吐谷浑的国王阿豺有20个儿子，他在临终之前，唯恐儿子们在自己死后争权夺利，互相残杀。便把20个儿子都召到床前，吩咐每人去取一支箭来，大家共取来20支箭摆在地上。阿豺命令他的弟弟慕利延说：“你拿一支箭折断给他们看看。”慕利延拿起一支箭轻轻一折就断了。阿豺又命令说：“你把那19支箭捆成一束一起折断吧!”慕利延用尽了吃奶的力气也不能折断。阿豺便对儿子们说：“你们都看见了吧?单者易折，众则难摧。你们只有努力同心，团结一致，我们的国家才能长治久安啊!”说罢便瞌然长逝了。“单者易折，众则难摧”这个平凡而深刻的道理，是人人都懂得的。这两篇寓言，同工异曲，都是为了说明这个道理。细心的读者也许已经注意到了，这两篇寓言所要说明的道理完全相同，所用的方法也完全一样，但是在写法上却有一点细微的差别。老人有7个儿子，所以要儿子们同时折断7支竹筷，来说明7个人团结一起会产生很大的力量。阿豺有20个儿子，为什么不让他们同时折断20支箭，来说明20个人团结的力量，却只用19支箭呢?原来这中间还有一个数学的道理哩!要拆断一支圆形的竹筷需要多大的力量呢?根据力学的知识，当外力作用于竹筷时，竹筷会产生一个“挠度”f，当挠度达到极限时，竹筷就会断裂。挠度f按下面的公式计算：其中：P-作用的外力；l-竹筷的长；E-弹性模量，与竹筷的材质有关；d-竹筷的直径。由公式可知，当竹筷的长度、材质一定时，折断一支竹筷所用的力和折断一把竹筷所用的力之比，等于一支竹筷和一把竹筷的直径的四次方之比。为简便计，设一支竹筷的直径为1，那么“一把”竹筷的直径是多少呢?我们当然希望，当若干支竹筷捆作一把时，最好能接近于圆形。这就是两篇寓言中为什么分别用7支竹筷和19支箭的道理了。众所周知，一个圆恰能被6个与它同样大小的圆环绕一层。换句话说，7支竹筷捆作一束时比较接近于圆形。再扩大一层，恰好要19支竹筷捆作一束才比较接近于圆形。即任一个圆可以用6个相等的圆环绕一层，可用18个相等的圆环绕2层，用36个圆环绕3层。一般地，用6(1+2+3+…+n)=3n(n+1)个圆可以环绕n层。现在，我们再来看看折断7支一束或19支一束的竹筷所用的力是折断一支竹筷所用之力的多少倍?设折断一支竹筷所用之力为P1，这竹筷直径为d1=1；折断7支竹筷所用之力为P7，直径为d7；折断19支竹筷所用之力为P19，直径为d19，由图23与图24知，d7可以近似地看作等于3，d19可以近似地看作等于5.于是这意味着，折断7支竹筷所需之力是折断1支竹筷所需之力的81倍；而折断19支竹箭所需之力是折断1支竹箭所需之力的625倍。这就是为什么“单者易折，众则难摧”的道理!关于图23和图24，数学史上还有一个非常有趣的故事：1910年，有一个名叫亚当斯的人，试图把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填在图23中的7个圆内的圆心处，使得每一条直线上的数加起来的和都相等。亚当斯很快发现，这是不可能的。如图25所示，如果有x+y=y+z，就必须x=z，但每个数只能填在一个圆心处而不能填在两个圆心处。所以，亚当斯要求的填数法是不存在的。但是他经过不断探索，终于在1957年发现了，把1，2，…19这19个数分别填在图24的诸圆内圆心处，如图26所示，其中每条线上的数相加之和都等于38.   由于环绕每一层的各圆的圆心都排列成一个正六边形，所以，把像图26这样填了数的图形称为幻六边形。亚当斯是用手工排列试出来的，人们自然会问，是否还有更多层的幻六边形呢?回答是否定的。崔哥后来证明了：不论有多少层环绕圆，也不论用多长的数列1，2，…唯一的幻六边形就只有图26所给出的一个。下面我们来给出这个结论的证明：设n为环绕圆的层数。我们先证明，若具有n层的幻六边形，必然有n=2，如图27所示，诸圆心所构成的直线，可分成三个方向的平行线，在每一个方向上，都有2n+1条直线。设每一条直线上诸数之和为常数S，则沿某固定方向上的2n+1条直线上各数之和为(2n+1)S.另一方面，前面证明了，环绕n层共需要3n(n+1)个圆，加上中心的一个共3n(n+1)+1个圆。所以，沿某一固定方向上的2n+1条直线上共有3n(n+1)+1=3n2+3n+1个数，它们分别是1，2，3，…3n2+3n+1，其和为用两种不同方法求出的和应该相等，即有或者2(2n+1)S=(2n+1)[(2n+1)(n+1)2+(n+1)(2n2+1)]+n2(n2+1)因为2S是整数，所以2n+1整除右边，从而有2n+1整除n2(n2+1).注意到2n+1与n2是互素的（因为不然的话，设d是2n+1与n2的一个最大的素公因数，则d>1；但d整除n2，必然d整除n；又d整除2n+1，就推出d整除1，与d>1矛盾），便有2n+1整除n2+1，从而有2n+1整除4(n2+1).但4(n2+1)=4n2+4=4n2-1+5=(2n+1)(2n-1)+5，由2n+1整除4(n2+1)即可推出2n+1整除5.这只有n=0或n=2才有可能。但n>0，故必有n=2.这就证明了，如果存在幻六边形，只能是2层的。至于2层的幻六边形是否存在，图26已经作了回答。至于图26是不是唯一的幻六边形呢?我们可以像图28所示的那样，把19个数分别记为x1，x2，…x19，由于每个方向上有5条线，若每条线上各数之和均为S，则有于是S=38，剩下的就是计算每一个xi（i=1，2，…，19），最后不难得出结论，图26是唯一的幻六边形。