Mom tells her little daughter_______old story every night.

D, the
母亲每天晚上都给她的小女儿讲这个老故事。
the 是特指，表示 同一个老故事，她母亲每天晚上讲的都是这个老故事，不换花样。
an 是泛指，表示 一个老故事，没有特指，只要是老故事就行，比如她母亲有本故事集，故事集里全是老故事，她母亲每天晚上讲一个，都是老故事，不重复。
这里没有具体语境，但强调了 old story，就选 the 吧，母亲每天晚上都讲一个固定的老故事。