勾股数的规律~

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。



满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。



例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。



1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么











c=2+9+6=17。



则8、15、17便是一组勾股数。



证明：











∴a、b、c构成一组勾股数



2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么



a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。



例如：当m=4，n=3时，



a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25



则7、24、25便是一组勾股数。



证明：



∵a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2



=m4-2m2n2+n4+4m2n2



=m4+2m2n2+4n2



=(m2+n2)2



=c2



∴a、b、c构成一组勾股数。



3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。



首先观察已知数是奇数还是偶数。



(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。



例如9是勾股数中的一个数，







那么9、40、41便是一组勾股数。



证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为















(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。



例如8是勾股数组中的一个数。







那么8、15，17便是一组勾股数。



证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1



∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1



=n4+2n2+1



=(n2+1)2



∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。