博弈问题

例 1．桌子上有 24 根火柴，甲、乙两人轮流取，每人每次取 1---3 根。谁取到最后一根谁就 获胜。甲该怎样取才能保证获胜？练习 乙两人轮流报数，报出的数只能是 1 至 7 的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先 使这个累加和达到 80，谁就获胜。问怎样才能确保获胜？两人轮流报数，每次报一个数，但报出的数只能是 1 至 8 的自然数，同时把所报数一一 累加起来，谁先使这个累计和达到 80，谁就胜。问怎样才能确保获胜？例 1.解析：甲要获胜，就要拿到第 24 根火柴；要想拿到第 24 根火柴，必须先拿到第 20 根； 要想拿到第 20 根，必须先拿到第 16 根，同理可推出，甲必须先拿到第 12、8、4 根，甲才 获胜。所以，解决办法是，①让乙先拿，②甲后拿的根数=（1+3）-乙取的根数。有意思的是：24÷（1+3）正好没有余数。思考：如果桌子上有 25 根或 26 根火柴，甲要获胜又该如何？ 归纳：经过上面两题思考分析，我们发现：①取的先后次序是由总数除以取的规则中最 ： 少和最多数的和所得到的余数来决定：余数是 0，获胜方要让对方先取；余数不是 0，获胜 少和最多数的和所得到的余数来决定： ，获胜方要让对方先取； ， 方要先取② 方要先取②获胜方每次取的数量和对方取的数量之和应该是取的规则中最少与最多数之 和。 练习答案 分析与解答： 分析与解答：我们可以采用倒推法来思考。 因为每次报 1 至 7 的自然数，所以要想报到 80，应抢先报数使累加和为 72，给对方留 下 8 个数。 同样道理，要使累加和抢先到 72，应抢先报数使累加和为 64；依此类推，每次都应抢 报数，使累加和为：80，72，64，56，48，40，32，24，16，8。 所以获胜的方法是： （1） 让对方先报； （2）对方报 a（ 1 ≤ a ≤ 7 ） ，你就报 8 − a ，必胜。 因为每次报 1 至 8 的自然数，所以要抢到 80，必须抢到 80-9=71，给对方留下 9 个数。 同样的道理，要使累加和抢到 71，就必须抢到 71-9=62. 依次类推，就应该抢到 53,44,35,26,17,8 （1）所以自己先报；总给对方留下的总是从（9+1）的倍数那个数开始；（2）对方报 对方报 a（ 1 ≤ a ≤ 7 ） ，你就报 9- a，必胜。