数学题初三

(1)证明：因为AM⊥MN，所以∠AMN=90°，∠CMN+∠AMB=∠AMB+∠BAM=90°，
所以∠CMN=∠BAM，又因为∠B=∠AMN=90°，所以三角形ABM和MNC相似
(2)由第一题得到Rt△ABM∽Rt△MCN，所以BM/AB=CN/MC,，
设BM=a，则：MC=4-a，CN=BM/AB ×MC=a(4-a)/4，DN=4-CN=4-a(4-a)/4
从图中可以看出：
四边形ABCN的面积S=AB×BC-1/2×AD×DN=16-[8-a(4-a)/2]=8+a(4-a)/2=10-(a-2)²/2≤10
当a=2时，S=10最大，即M在BC中点时S最大
(3)由题意，当满足Rt△ABM∽Rt△AMN时，有：
AB/BM=AM/MN=CM/CN，设BM=x，则：CM=4-x，CN=x(4-x)/4；
由勾股定理：AM=√(x²+4)，MN=√(CM²+CN²)=√(4-x)²(1+x²/16)=(1-x/4)√(x²+4)，
所以AM/MN=4/(4-x)，所以4/(4-x)=AB/BM=4/x，4-x=x，解得：x=2
所以M点在AB中点

1、∠B=∠C=∠AMN=90
∠BAM+∠BMA=90
∠BMA+∠CMN=180-∠AMN=180-90=90
所以 ∠BAM=∠CMN
所以 ∠BMA=∠MNC
Rt△ABM∽Rt△MCN
2、设BM=X，则MC=4-X
AB/MC=BM/CN，即4/(4-X)=X/CN，CN=X(4-X)/4
SABCN=(CN+AB)BC/2=(X(4-X)/4+4)*4/2
=(16+4X-X²)/2=(20-(X²-4X+4))/2
=(20-(X-2)²)/2
当 X=2 时，即 M移动到BC的中点时，ABCN的面积最大=20/2=10
3、Rt△ABM∽Rt△AMN，AB/BM=AM/MN，(AB/BM)²=(AM/MN)²
AB²*MN²=AM²*BM²
AB²(MC²+CN²)=(AB²+BM²)BM²
4²((4-X)²+(X(4-X)/4)²)=(4²+X²)X²
16(4-X)²+X²(4-X)²=(16+X²)X²
(16+X²)(4-X)²=(16+X²)X²
因为16+X²>0，所以 (4-X)²=X²
4-X=X，X=2
即 M移动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN

(1)AM⊥MN
∴∠AMB+∠CMN=90º
又∠AMB+∠BAM=90º
∴∠BAM=∠CMN
∴△ABM∽△MCN
(2)设BM=x，∵△ABM∽△MCN
∴CN/MC=AB/BM
∴CN=x(4-x)/4=[-(x-2)^2+4]/2
∴当x=2时，CN最大
即当M点为BC中点时，四边形面积最大
(3)∵△ABM∽△MCN
∴AM/MN=AB/MC=4/(4-x)
∵△ABM∽△AMN
∴AM/MN=AB/BM=4/x
∴4/(4-x)=4/x
∴x=2
即当M点为BC中点时，△ABM∽△AMN