拉格朗日中值定理是什么？

是指直角坐标系中一个光滑连续曲线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值等于横坐标两点之间某一点的导数；相当于在曲线上任意两点间能找到一点，这点的切线与任意两点的连线平行。

定义
又称拉氏定理。
　　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理内容
　　若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
　　(1)在[a,b]连续
　　(2)在(a,b)可导
　　则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
a　　使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
成立，其中a证明:
　　把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　易证明此函数在该区间满足条件:
　　1.G(a)=G(b);
　　2.G(x)在[a,b]连续;
　　3.G(x)在(a,b)可导.
　　此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
　　若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

f(b)-f(a)=f‘(ζ)(b-a)
就是说一段定义域为[b,a]的连续函数，必存在一点ζ，f‘(ζ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广
拉格朗日中值定理的推广是柯西中值定理

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　(1)在[a,b]连续 　　(2)在(a,b)可导 　　则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a