黎曼几何是怎么产生的，为什么广义相对论会选择它？

基于人们发现的非欧式几何。
狭义相对论的对象是电动力学下的平直时空变换。爱因斯坦希望洛伦兹变换也适用于引力。要求引力方程满足局部空间洛伦兹变换下的对称性。选取广义坐标，（即对一个点的描述不局限于x坐标加y坐标，也可以用其他的方法，可能更方便）把方程弄成协变张量的形式。这样就不用依赖于坐标系的选择了。
牛顿引力——标量
电磁学——矢量势
现在把引力理论表示成二阶张量形式（就和电磁学有同样的对称性了），采用广义微分将矢量的微分弄成二阶张量。
张量方程作坐标变换，形式不会发生变化，就是说它更具有普遍性，一般性——广义协变原理。