一般用的三角函数公式都有哪些?
2个回答
1.同角三角函数关系式 2.诱导公式 3.和差倍半角公式 4.和积互化公式 记住这些公式就足够用了,关键是根据解题需要合理选择使用。
同角三角函数的基本关系
倒数关系:tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1
商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式:sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1
一个特殊公式:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)
证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)
坡度公式:
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l :
m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式
正弦: sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA
余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其中R=2^(n-1)
证明:当sin(na)=0时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】
这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。 所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以 {sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn)。 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^(n-1)
半角公式;tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差 sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数 sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα
公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα
诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限
万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
倒数关系:tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1
商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式:sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1
一个特殊公式:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)
证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)
坡度公式:
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l :
m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式
正弦: sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA
余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其中R=2^(n-1)
证明:当sin(na)=0时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】
这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。 所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以 {sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn)。 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^(n-1)
半角公式;tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差 sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数 sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα
公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα
诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限
万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
相关问答
二次函数的一般形式是什么?
二次函数是抛物线一般式是y=ax²+bx+c,其中a决定抛物线开口方向,b和a共同决定抛物线相对于y轴的位置,c决定抛物线在y轴上的截距
请问开证明与函的一般格式有哪些?
证明要先设结果成立,再通过计算证刚才的结果不成立便可。 如果是二次函数的话有3种格式。 一般式:Y=AX2+BX+C 顶点式:Y=A(X-H)2+K 交点式:Y=A(X-X1)(X-X2)
二次函数化成一般形式
解答: 二次函数一般式的形式通常为y=ax²+bx+c 所以y=√3x-x^2=-x^2+√3x 其中二次项系数a=-1,一次项系数b=√3,常数项c=0
函的格式及范文怎么写?
公函的格式是:公函在结构上一般由标题、正文、落款三部分构成。 标题:跟一般的信函不同,公函的标题通常要包括发文机关、事由和文种类别(函)。有时可省写发文机关,但事由和文种类别不能省略。另外,标题...
全文二次函数表达式是什么?
y=ax²+bx+c
邀请函格式是什么?
邀请信是邀请亲朋好友或知名人士、专家等参加某项活动时所发的请约性书信。但要注意,简洁明了,看懂就行,不要太多文字。 格式 例 邀 请 函 尊敬的××先生/女士: 过往的一年,我们用...
全文小学的邀请函格式怎么写
亲爱的家长: 您好! 二年段计划于20xx年11月27日(星期五)下午15:00—16:30举行教学开放周二年级“数学好玩”课堂——“年段旧物市场” 活动。 活动目的是通过有趣的旧物...
全文求。指数函数。对数函数。幂函数的基本公式。学习妙招
课本书上讲的很清楚
我数学二次函数总是搞不懂,什么顶点式,什么一般式不
顶点式是:y=a(x-m)^2+k(点(m, k)是二次函数图像抛物线的顶点); 一般式是:y=ax^2+bx+c。(a, b, c 是二次函数中各项的系数)。
扫码下载APP
听书听课听播客,随时随地陪伴你
热门问答
- 1庆余年:为何叶轻眉现身庆国,一个动作迷倒三个男人?
- 2中国现代文学名家有哪些?
- 3Footmen Frenzy 3.9 四方战争
- 4娱乐类的完本小说中,哪些是必看的?
- 5苏州大学文正学院能否走读? 如果想走读,什么时候要递交申请?
- 6满天神佛何处觅。是什么意思?
- 7带佛,菩萨项链好吗?
- 8寻若木之遥远兮 渚畔白鸟纷飞兮 这句诗句什么意思求告知
- 9女人说“你说了算”是什么意思啊?
- 10心灵伴侣和灵魂伴侣的区别
- 11魔力宝贝 魔法师厨师加点
- 12一个男人叫你等他什么意思
- 13爱情契约要怎么签
- 14有哪些关于暗恋的故事?
- 15求对“孑然一身又一生”的上联 要求:仄起平收,对仗工整
- 16心灵伴侣跟爱人有区别吗
- 17大家有认识一个叫张进的人吗?关于抑郁症的
- 18人死后的世界是什么样 科学家证实人死后生命不会结束
- 19如何让心态平静,淡定处事,遇事不慌不燥?
- 20人死后的世界在哪里?
- 21板桥善诵的译文
- 22好看的长篇心理恐怖悬疑小说
- 23新手FS求助--1级冰箭与1级暴风雪的用处
- 24"谋篇布局"的意思
- 25什么是宗教?
- 26男主角重生在校园的小说
- 27请问薛氏家族从何年代来的?
- 28天下无人什么数字
- 29魔兽电影里的玛戈格拉是什么意思
- 30山海经异兽灵剑降临可以从客服查东西被谁买了吗?
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 爱祖国童谣
- 傲世天下小说免费
- 爱情文案高质量
- 爱情变成亲情
- 爱你这首歌有纯音乐吗
- 爱看书免费阅读
- 艾灸关元气海最佳时间
- 阿吱,阿吱故事免费阅读听书
- 暗黑破坏神2手游
- 奥特曼卡稀有排行
- 安徒生童话故事100篇
- 奥特曼 奥特之王
- 奥特曼 雷
- 艾莎音乐歌曲
- 艾杨格瑜伽入门教程
- 奥特曼版的歌曲
- 奥利奥彩虹饼干
- 爱在午夜降临前电影
- 爱情电视剧免费观看全集在线观看韩剧
- 安静读书的轻音乐
- 凹凸世界第2季全集
- 爱情书籍
- 阿弥陀佛心咒的正确读音
- 安意如人生若只如初见中的故事
- ai一键去除衣物软件
- 暗恋橘生淮南小说完整
- 凹凸相对论电子书
- 阿里郎所有歌曲
- 爱卡汽车论坛
- 奥特曼大电影贝利亚
- 不分手的理由
- 不二嫁有声小说
- 爆宠狂妻神医神医五小姐有声小说
- 不可抗力有声小说偏文
- 哔哩哔哩有声小说天涯客
- 比较虐的有声书
- 半袖江山免费听有声小说
- 百家讲坛有声读物李莲英
- 北宋小厨师全集有声小说哪里能听
- 保家仙有声小说在线收听
- 薄荷阅读有声书扫码
- 百鬼全书有声小说之
- 把弟弟养歪了肿么破
- 比得兔的新故事
- 播讲的好的有声书推荐
- 百炼成仙有声小说4018
- 保皇开天辟地有声小说
- 百合有声书app哪个好
- 变形记卡夫卡有声小说
- 被退婚的弃少修仙有声小说
- 白鹿原有声小说13
- 北藤有声小说作品大全
- 不羁狂兵有声书
- 不健全关系
- 百家讲坛唐朝
- 不怨人有声书有时能有声音视频
- 白夜行有声小说全集
- 被窝里的有声小说
- 背影朱自清有声读物
- 播客有声书免费听
- 除藻小精灵鱼
- 出自道德经第八章水的品格
- 超品相师小说完整版免费阅读
- 苍兰诀 九渊
- 唱贝瓦儿歌
- 穿越到仙王的日常生活的小说
- 痴心换情深手机铃声
- 蝉的幼虫长什么样
- 初中数学计算技巧
- 吃三七有什么功效
- 春季去哪里旅游好
- 吃维生素c有什么效果
- 春节的英语作文
- 出名太快怎么办小说笔趣阁
- 朝三暮四原文
- 陈慧娴歌曲大全100首歌词
- 春节去东北哪里旅游比较好
- 朝花夕拾摘抄500字
- cut初中英语短语归纳
- 车上u盘音乐格式
- 春天写柳树的句子
- 郴州景点分布
- 传统文化免费培训班
- 曾国藩的老师
- 彩虹盲盒
- 春的作文200字
- 车载dj金曲
- 初中英语测试题全套含答案
- 纯音乐唢呐联奏歌曲
- 裁员补偿工资
- 大学英语考试ab可以越级考吗
- 杜桥哪里有英语启蒙课
- 动物英语启蒙大象怎么说
- 蛋糕启蒙英语翻译简单易懂
- 大童英语启蒙设备有哪些
- 大同英语启蒙前十名
- 地理启蒙英语怎么说读音
- 大学b级英语考试很重要吗
- 大学一年级到四年级的英语
- 大自然启蒙英语怎么说
- 到处都是英语启蒙的英文
- 对英国启蒙时期的感悟英语
- 大西瓜儿歌早教英语启蒙
- 动物英语单词启蒙教育
- 动物大冒险英语启蒙版阅读
- 搭档英语启蒙儿歌早教古诗
- 多大给孩子做英语启蒙好
- 大一b级英语考试内容
- 大童英语启蒙如何学习单词
- 多比特启蒙英语怎么样
- 大童英语启蒙推荐学词汇
- 大孩子启蒙的英语分级读物
- 大声说英语启蒙早教儿歌
- 大童英语启蒙怎样听力领先
- 大人生活情景英语启蒙美式
- 动物英语启蒙什么时候开始
- 道真英语启蒙儿歌早教
- 大象英语启蒙儿歌早教音乐
- 单程票英语启蒙工具推荐
- 大学4级英语考试听力时间
- 儿童剑桥英语三年级下册
- 儿童三年级学英语办法
- eec 三年级英语下期中
- 儿童三年级英语考级哪
- eec英语三年级课文讲解
- 二附小英语三年级上册
- 儿童三年级英语苏教
- 儿子三年级英语63分
- eec英语三年级下册月考
- 儿歌三年级英语音标
- 儿童三年级英语学哪些
- 二校三年级英语上册
- 儿童三年级英语线上课
- 二单元三年级英语讲解
- 二升三年级英语讲评
- 儿童三年级磨耳朵英语
- epc小学三年级英语下册
- 二升三年级英语暑假
- 儿童故事三年级下册英语
- 儿童三年级英语歌
- 二升三年级英语abcd
- eec三年级英语下册期中
- 鄂教三年级下册英语
- 儿子三年级怕学英语
- epe人教版三年级上册英语
- eec英语三年级下册音频
- 儿童三年级下册英语背诵
- e三年级英语句子
- 二升三年级基础英语
- 二外兰溪三年级英语
- 复活节对口快板
- 非诚勿扰女嘉宾唱二人转
- 非常有讽刺意义的一段相声
- 冯小刚相声作品
- 方清平爆笑相声睡前必听
- 肥肥说唱二人转野花浪漫曲
- 方清平刘洪沂相声
- 方健健相声大全
- 冯五爷完整版相声
- 冯小刚相声全集欢乐喜剧人
- 防火三人相声
- 方清平相声方言完整版
- 泛华保险集团优点快板
- 非主流相声争议
- 方清平相声我要当富豪
- 父子相声剧本搞笑简短
- 丰台云岗评书培训机构
- 佛山南海区仙湖音乐喷泉
- 冯永存相声
- 方清平相声厨房里偷东西
- 范说相声
- 飞燕二人转
- 风陵渡说书人作品大全
- 福清音西街道地块竞得
- 辅音里面清音的读法
- 扶遙清音的含意
- 封神演义评书单田芳345
- 冯兆祥杨鹤通相声
- 服务员成为相声一哥
- 封神演义谁的评书好听
- 郭德纲经典相声济公传动漫
- 葛珊珊二人转
- 郭德岗相声独此一家
- 郭冬临开车相声全集
- 郭麒麟于谦栾云平经典相声
- 郭德纲于谦相声黄金搭档
- 郭德纲和于谦相声铁锤姐姐
- 郭德纲守财奴的相声
- 郭德纲单口相声李鸿章
- 郭德纲跟一个胖子的相声
- 郭德纲经典相声睡前高音质
- 闺女快板
- 高元钧大师表演山东快书怕
- 郭德纲以唱为主的相声
- 郭德纲和别人和做的相声
- 郭德刚相声文本
- 郭德纲相声于谦是王子
- 鼓楼附近相声茶馆
- 郭旺周晶二人转这一拜
- 关于安全教育的快板
- 古诗的快板词
- 郭德纲讽刺姜珊的相声段子
- 郭德纲精品相声集目录
- 郭德纲于谦早期相声善人
- 关于教师节的相声
- 高中相声女生
- 公式相声李宏烨与郭德纲
- 郭德纲入眠相声合辑
- 郭德纲圣诞相声晚会
- 关于压力的相声
- 孩子鼻窦炎流鼻血
- 杭州旅游住宿攻略
- 坏蛋是怎样炼成的2陈百成叛变
- heysugar儿歌
- 华佗神方大全
- 韩影电影
- 沪江网校学西班牙语
- 葫芦娃七个娃
- 哄猪睡觉的睡前故事
- 海豹是两栖动物吗
- 话剧立秋
- 好多猫
- 回乡偶书的偶
- 回忆的经典歌曲
- 红皮洋葱的功效与作用
- 红楼梦内容概括50字
- 海洋的儿歌
- 哈利波特拼装玩具
- 红楼梦第四十一回
- 霍霆琛时笙
- 寒门崛起txt全本下
- 哄男人的情话
- 好的诗歌
- 火柴人双人下载
- 胡萝卜西兰花山药能一起吃吗
- 婚礼流行歌曲大全100首
- 孩子唱妈妈种花儿歌
- 韩三千和苏迎复
- 花果肉桂
- 怀念天堂的妻子歌曲
- 将三七言盛小说
- 军婚娇扯免费阅读
- jpeg转电子书
- 绝世女佣兵
- 经济学通识免费
- 给儿子找保姆2
- 江南农村小说
- 军婚类小说排行
- 交易凌豹姿
- 槿色如伤by木荒云
- 剑桥金庸武侠史
- 基地三部曲精校版
- 今生今世在线阅读免费
- 矫矫剑神精校版
- 金屋藏娇言情小说
- 绝品护花兵王陈一飞
- 讲吸血鬼小说
- 经典破镜重圆小说推荐
- 军警小说司令
- 九州缥缈录6在线阅读
- 江山多角的全部小说
- 举案齐眉小说女主齐眉
- 九年级上册英语全解电子书
- 寂寞剑客全部小说列表
- 家庭欲望女儿小说
- 介绍免费全本玄幻小说
- 经典小说比如盘龙
- 基情杂集云
- 金庸云
- 绝世唐门八零电子书
- 酷听网有声小说交易
- 口袋神探1
- 抗日亡兵魂传说有声小说
- 空空校园西游记
- 空想舰娘有声小说
- 坑王驾到那个有声小说
- 抗战之铁血军魂有声书免费
- 恐怖有声读物小说
- 昆仑下有声小说蜘蛛
- 快穿之炮灰逆袭记有声小说
- 快穿团宠又美又飒小说有声书
- 跨过千年来爱你白敏有声小说
- 酷我音乐有声读物变少了
- 恐怖带点黄的有声读物
- 科幻小说有声书刘慈欣
- 苦难辉煌有声书6
- 科学有声读物有哪些书
- 快乐英语阅读三下
- 看电影学英语
- 凯叔有声读物198买一年送一年
- 科幻玄真有声小说
- 看小说按音量键翻页怎么会有声音
- 酷狗有声书有没有女主播
- 口碑最好的有声小说夜行歌
- 酷狗怎么搜索有声读物
- 狂抬头有声小说全文免费阅读
- 酷我有声小说小咪
- 科普三部曲有声书
- 恐慌沸腾8无尽杀戮有声小说
- 酷听网有声小说推荐
- 六年级下册英语作文假期
- 来几首欢快的儿歌
- 六岁儿童启蒙英语推荐
- 六年级下册英语pep笔记
- 旅游的少儿英语单词大全
- 六年级下册英语苏教
- 刘若英后来简谱儿歌
- 朗文星派少儿英语
- 六年级点中点英语下册
- 六年级上册英语b c部分
- 六年级英语作文自己的城市
- 老虎强壮的儿歌
- 来和我一起跳舞吧儿歌
- 六级听力分值赋分
- 六年级人教版精通英语下册作文
- 辽宁教育出版社一年级英语上册
- 六年级英语32课翻译人教版
- 朗读儿歌评价节奏
- 老师本领大是什么儿歌
- 乐嘉路少儿英语
- 两只老虎儿歌小苹果歌曲
- 冷静英语儿歌钢琴简单简谱
- 蓝蓝天空小小屋儿歌
- 老外说英语四年级
- 朗文国际少儿英语3B
- 脸英语怎么读三年级上
- 林朝夕唱的儿歌是什么
- 六年级英语下册代词结构梳理
- 六年级英语童话小故事
- 老潍县中秋节念月儿歌
- 免费快速学英语
- 免费英语听力训练
- 每日英语听力官网下载
- 免费学英语学习网站
- 每日英语学
- 每日英语听力下载
- 免费零基础学英语
- 买的试卷有英语听力题如何让孩子听
- 免费的人人英语听力
- 每日英语听力快速下载
- 免费学习英语网
- 没有一点基础学英语
- 免费在线英语学习网站
- match英语怎么读
- 没人给读英语听力怎么办
- 免费的英语学习
- 慢速英语听力下载
- 每日英语听力破解2017
- mate英语怎么读
- 免费在线学习英语课
- 每日英语听力在线听
- magic英语怎么读
- 买个什么能英语听力好
- 免费的英语听力材料
- 免费学英语上什么网
- meat英语怎么读
- 每天一句学英语
- 每天听力英语
- mess英语怎么读
- 免费学基础英语
- 女子小学生的英语
- 南京外研社小学生英语
- 尼泊尔小学生学习英语
- 农场小学生画英语
- 南阳英语采访小学生
- 南山实验小学生英语
- 女童英语学习小学生
- 女小学生听写英语
- 能动英语小学生演讲
- 年级小学生英语作文
- 哪里小学生学习英语
- 南京英语介绍小学生
- 牛津版小学生英语
- 南京小学生英语学习
- 南京小学生英语阅读
- 南充小学生英语学习
- 男小学生英语名片
- 农村小学生读英语
- 南京小学生英语群
- 哪个小学生英语最好
- 牛津小学生英语人物
- 奶油球小学生英语
- 哪个英语适合小学生
- 牛津英语字典小学生
- 南阳小学生学英语
- 男生小学生的英语
- 那些年小学生英语
- 南通小学生英语竞赛
- 农村小学生英语天才
- 南京小学生考英语
- 欧洲小学生在线听英语课
- 欧阳发苏少儿英语
- 欧美经典儿歌一共几册
- 藕断丝连简谱儿歌弹唱
- orange一颗橙子少儿英语
- og test3听力
- 偶遇小学生穿搭怎么说英语
- 偶遇小学生英语学霸怎么说
- 欧文少儿英语重庆
- 欧文是小学生吗英语怎么说
- 欧阳老师听力
- 欧美网名英文儿歌推荐女
- 偶遇小学生英语学霸怎么办
- 偶遇小学生开麦怎么说英语
- 藕儿歌赏析
- old造句用英语五年级拟人
- oven幼儿英语
- 偶像剧女主介绍英语小学生
- ok英语启蒙
- 欧美英语启蒙慢速儿歌
- 欧洲儿歌总决赛
- 欧洲小学生在线听英语音频
- olympicgames听力2008
- 欧美小学生儿歌有哪些
- 偶遇小学生英语怎么说怎么写
- our school初一英语作文
- 欧美儿歌好听的歌
- 欧弟唱的儿歌
- 偶尔去吧少儿歌曲
- 欧美中小学生活英语
- 评书聊斋志狐
- 评书呼家将呼延庆第85回
- 评书小八义田连元目录
- 评书西游记纪
- 评书杨门女将征西3回
- 萍踪侠影评书原型
- 评书文本无弹窗
- 评书大家还有谁了
- 评书舌战群儒诸葛亮完整版
- 评书七侠五义人物结局
- 评书八拜结交的故事
- 评书三六计
- 评书山中那十九座坟茔小说
- 评书新岳飞转
- 评书绝版
- 评书三国演义之五丈原
- 评书大砍冲肖楼
- 评书小李飞刀97
- 评书空间武神40
- 评书空间医药师
- 评书白眉大侠的下一部
- 评书白眉大侠大战昆仑僧
- 评书胡霸天下
- 评书三侠五义第七十六集
- 评书洸亡艳遇记
- 评书职场丽人
- 旁军相声
- 评书青帮三大享
- 评书三打白骨精文本
- 评书打梁桥
- 七个月宝宝在讲英语
- 千纸鹤宝宝的英语怎么说
- 七岁宝宝能唱的英语歌曲
- 勤快的小宝宝真可爱呀英语
- 启蒙英语跟宝宝沟通有关系吗
- 七个月宝宝学英语软件
- 亲爱的宝宝们圣诞节英语
- 七岁宝宝读英语好吗好不好
- 七个月的宝宝学英语
- 晴宝宝英语课开家长会
- 期待中的虎宝宝怎么说英语
- 亲自宝宝说英语的句子怎么说
- 奇妙宝宝说英语是哪一集
- 强制四岁宝宝学英语怎么办
- 七个月宝宝怎么学英语
- 亲戚家的宝宝好可爱呀英语
- 请保护好宝宝英语怎么说
- 亲爱的宝宝重阳节快乐英语
- 七岁宝宝能唱的英语歌
- 全世界宝宝学英语都一样
- 亲爱的宝宝在干什么英语
- 七个月宝宝英语发音不准
- 七岁宝宝说英语怎么说呢
- 请播放两岁宝宝的声音英语
- 七八个月宝宝说英语怎么办
- 秦媛宝宝用英语怎么说写
- 起床给宝宝说的英语怎么说
- 求求宝宝别烦了用英语怎么说
- 七个月宝宝学英语好吗
- 情景英语三岁宝宝可以学吗
- 日本高中生要考英语么
- 如何破格录取高中生英语
- 如何正确开始高中生活英语
- 人生英语作文高中生高三
- 如何学好高中生科目英语
- 人性翻译作文英语高中生
- 如何成为高中生的英语作文
- 人教版英语背单词软件高中生
- 如何给高中生画饼呢英语
- 如何过好高中生活 英语
- 人的弱点英语作文高中生
- 日本高中生如何考研英语
- 人才金句英语作文高中生
- 如何帮高中生英语提分
- 人类团灭英语作文高中生
- 如何训练高中生英语口语
- 日本高中生说的话英语作文
- 如何快速背单词高中生英语
- 如何提高英语听力高中生
- 入学以来的高中生活英语
- 让高中生感动的话简短英语
- 如何造句子英语高中生作文
- 日本高中生英语听力训练
- 如何提高英语口语高中生
- 日本高中生活作息表英语
- 如何给高中生教英语作文
- 如歌提高作文英语高中生
- 如何提高初高中生英语兴趣
- 人生座右铭高中生英语翻译
- 如何学好英语初中高中生
- 四川清音的唱腔是不是板腔
- 丝竹清音袅
- 苏文茂相声全集宁波话
- 孙越表演相声
- 苏州评弹白蛇上金山
- 说书元末明初
- 苏州评弹苏州美
- 世界公厕日快板词
- 说相声王千祥
- 谁评书过天龙八部
- 少马爷和佟守本相声
- 三国说书版
- 社团文化节相声
- 说书单田芳隋唐演义99
- 苏州评弹大红袍顾宏伯
- 少儿相声比赛
- 神月游戏评书
- 说相声的戴某是谁
- 四胞胎唱快板
- 双口相声表演词
- 搜索二战期间评书
- 苏州评弹尤调钗头凤
- 山东快板说水浒
- 适合小学生励志的相声
- 石达相声
- 三国演义评书七十七
- 三国演义评书是谁写的
- 三国评书
- 适合教师表演的双人相声
- 苏州评弹王府情仇二十八回
- 头条号评书
- 听童林传评书
- 铁甲勇士相声
- 田连元评书隋唐演义四十五
- 天津陈驰相声
- 田连元评书285
- 探晴雯相声
- 童林传245评书
- 天津相声广播电台号
- 唐秀英唱的二人转
- 天津台相声春晚直
- 听单田芳的评书全集
- 天津快板雨
- 天津相声爆笑
- 他是东北相声领军人物
- 滕海臣唱的东北大鼓调
- 天津市宝丽金二人转
- 天津唱单弦
- 听单田芳武侠评书燕王扫北
- 天津相声演员讽刺足球
- 体育评书麦迪性格
- 泰坦尼克号相声文本
- 天津相声名家采访
- 天津相声广播音频
- 天津相声剧场演出时间
- 天津话经典老相声
- 天街相声会馆
- 潼南音乐公园
- 童话相声系列
- 天津快板打好防殁战
- 五三高考英语3500
- 温州 高考模拟 英语试卷
- 威县高考英语试卷分析
- 维度英语作文模板高考
- 维克多高考英语解析
- 维克多英语2023高考单词
- 王后雄高考教辅英语
- 维克多英语高考词汇复习
- 外国做中国高考英语
- 微英语听力高考
- 文化传承英语作文高考
- 无锡瀚宣高考英语
- 问路英语听力高考
- 为高考加油翻译英语
- 围棋作文英语高考高频
- 王老师课堂高考英语
- 万唯英语作文高考
- 威海高考英语什么卷
- 文科高考英语二卷
- 五三b新高考英语
- 芜湖英语高考必备单词
- 维克托英语高考b版
- 外教闲聊高考英语
- 武汉英语高考总分
- 万唯高考陕西英语
- 为啥高考还要考英语
- 武汉高考英语总分多少
- 武汉市英语高考
- 网友高考英语速成
- 为何把英语列入高考
- 新乡幼儿英语的启蒙怎么学得好
- 谢孟媛的英语对大陆高中生实用吗
- 新东方高中英语
- 学好英语的十大建议和方法高中生
- 晓艳英语四级团队高中生可以听吗
- 乡下人的高中生如何练好英语听力
- 想认识一些高中生英语怎么说
- 西安家教一对一高中生英语
- 像高中生一样英语翻译的软件
- 现在大学生就像高中生一样英语
- 洗衣机英语启蒙怎么说
- 新概念英语二对高中生学习有用吗
- 新东方宝典适合启蒙吗英语
- 想对高中生说的一句话英语
- 向高中生征集志愿者用英语怎么说
- 像高中生活的大学生活英语翻译
- 新东方英语四级适合高中生吗
- 新概念英语高中生适用哪一种
- 像高中生一样英语翻译怎么说
- 小学生中学生高中生用英语怎么说
- 小厨房启蒙英语怎么说
- 新东方英语启蒙课的特点
- 像高中生活的大学生活英语作文
- 西游记英文版适合高中生学英语吗
- 新东方高中英语词汇
- 新概念二对高中生英语考试的影响
- 下一个最凶残的高中生英语
- 新疆英语四级考试高中生能报考吗
- 小学是知识启蒙教育吗英语
- 学英语报纸高二