派是无理数吗?怎么证明
假设π是有理数,则π=a/b,(a,b为自然数)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0
0
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)
又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(π)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有:
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为π,下限为0)
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以π不是有理数,又它是实数,故π是无理数。
圆周率π是无理数。证明如下:
假设π是有理数,则π=a/b,(a,b为自然数)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上两式相乘得: 0 当n充分大时,,在[0,π]区间上的积分有 0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数) 由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(π)也都是整数。 又因为 d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx =F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx =F"(x)sinx+F(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为π,下限为0) =F(π)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以π不是有理数,又它是实数,故π是无理数。 扩展资料: π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里,π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。 把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值,来计算宇宙的大小,误差还不到一个原子的体积 。 以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数,1882年林德曼证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。 π在许多数学领域都有非常重要的作用。 无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、 等。 而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如21/7等。 如果正整数N不是完全平方数,那么 不是有理数(是无理数)。 证明:若假设 是有理数,不妨设 ,其中p与q都是正整数(不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动)。 设 的整数部分为a,则有不等式 成立。两边乘以q,得 因p、q、a都是整数,p-aq也是一个正整数。 再在上述不等式的两边乘以 ,得 即: 显然,qN-ap也是一个正整数。 于是我们找到了两个新的正整数 和 ,它们满足 ,即 ,并且有 。 重复上述步骤,可以找到一系列的 使得 且 。因该步骤可以无限重复,意味着 均可无限减小,但这与正整数最小为1矛盾。 因此假设错误, 不是有理数。
π=圆的周长÷圆的直径
所以找一个规则的圆,比较准确的测量出圆的周长和直径。同一个圆,它的周长÷它的直径都等于同一个数
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