二次函数那部分我一点不懂!学霸们给我指点指点可好?
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二次函数定义
一般地,我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意:“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。二次函数的几种表达式
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式
y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x,0)和 B(x,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x,0)和 B(x,0),我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤: X1+x2=-b/a x1·x2=c/a
y=ax^2+bx+c
=a(x^2+b/ax+c/a)
=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2. =a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
二次函数图像与X轴交点的情况
当=b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。
当=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。
当=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
二次函数图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有 :
1. 本身图像,旁边注明函数。 2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a) 3. 与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),
顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号,对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。
与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
极值点:(-b/2a,(4ac-b2;)/4a);
Δ=b2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
y=a(x-h)2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a
y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X(X1+X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。 增减性
当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
两个关联函数图像
对称关系
对于一般式:
y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。
对于顶点式:
y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于y轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。
(其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
与一元二次方程的关系
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2(0,0) x=0
y=ax^2+K (0,K) x=0
y=a(x-h)^2(h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k<0)的图象
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k>0)的图象
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k<0)的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√/∣a∣(a绝对值分之根号下)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
当=0.图象与x轴只有一二次函数的知识点归纳总结
一般地,我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意:“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。二次函数的几种表达式
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式
y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x,0)和 B(x,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x,0)和 B(x,0),我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤: X1+x2=-b/a x1·x2=c/a
y=ax^2+bx+c
=a(x^2+b/ax+c/a)
=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2. =a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
二次函数图像与X轴交点的情况
当=b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。
当=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。
当=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
二次函数图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有 :
1. 本身图像,旁边注明函数。 2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a) 3. 与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),
顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号,对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。
与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
极值点:(-b/2a,(4ac-b2;)/4a);
Δ=b2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
y=a(x-h)2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a
y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X(X1+X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。 增减性
当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
两个关联函数图像
对称关系
对于一般式:
y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。
对于顶点式:
y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于y轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。
(其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
与一元二次方程的关系
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2(0,0) x=0
y=ax^2+K (0,K) x=0
y=a(x-h)^2(h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k<0)的图象
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k>0)的图象
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k<0)的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√/∣a∣(a绝对值分之根号下)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
当=0.图象与x轴只有一二次函数的知识点归纳总结
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