高一数学函数难题

1. 已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M，则8－x∈M，则满足这样条件的集合M的个数为( )(注：自然数包括0)
A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集个数.
4. 在1～120的120个自然数中，素数与合数各有多少个？
5. 已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.
6. 在数理化三科竞赛辅导中，高一10、11、12班参加数学辅导的有168人，参加物理辅导的有187人，参加化学辅导的有155人，数学、物理两科都参加的有139人，数学、化学两科都参加的有127人，物理、化学两科都参加的有135人，数理化三科都参加的有102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？
解：根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数为：
168＋187＋155－139－127－135＋102＝211
7. 求证：任意n＋1个整数中，总有两个整数的差能被n整除。
提示：利用余数构造n个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们同余，它们的差一定能被n整除.
8. 证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食，只用3千克和10千克的粮票支付，而无需要找补。
解：本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m＋10n的形式，其中m,n都是非负整数.注意到：大于17的整数可以写成3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式，而3k＋1＝3(k－3)＋10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2，因此它们都能够表示成3m＋10n的形式，其中m,n都是非负整数.
9. 设A是数集，满足若a∈A，则 ∈A，且1?A.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.
⑶若a∈A，证明：1－ ∈A.
解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合，则a＝
即a2－a＋1＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
但该方程有两个虚数解：a＝ i
故在复数范围内，A可以是单元素集，A＝{ i}或A＝{ i}
⑶a∈A ? ∈A ? ∈A，即1－ ∈A
10. 设S为集合{1，2，3，……，50}的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少个？
将这50个数按照7的余数划分成7个集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取A1中的8个，然后可以取A2、A3中各7个元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23个