高一数学必修一函数难题

①函数y=f(x)对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x＞0是，f(x)＞1，并且f(3)=4
(1)证明：f(x)是增函数、
(2)求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值。
②设函数f(x)=ax²+1\bx+c是奇函数(a,b,c∈Z)，且f(1)=2,f(2)＜3，求a,b,c的值
③设二次函数f(x)=x²-4x-1在区间[t,t+2]上的最小值为g(t),试求函数y=g(t)的最小值
④已知y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？证明结论。
⑤已知函数f(x)=x-1\x+1,x∈[1,3],求函数的最大值和最小值。

（1）证明：
设x1,x2∈R，x1＜x2
【f(x+y)=f(x)+f(y)-1，即f(x+y)-f(x)=f(y)-1】
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1
∵x1＜x2
∴x2-x1＞0
由条件可得，f(x2-x1)＞1
∴f(x2-x1)-1＞0
即f(x2)-f(x1)＞0
∴该函数为增函数

（2）
∵该函数为增函数（已证）
∴当x=1时，f(x)取得最小值；当x=2时，f(x)取得最大值
【将3拆分成1+2，将2再拆分成1+1】
f(3)=f(2)+f(1)-1=f(1)+f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4
解得f(1)=2
f(2)=2f(1)-1=3
∴f(x)在[1,2]上的最大值为3，最小值为2。

②
∵该函数为奇函数，f(1)=(a+1)/b+c=2
∴f(-1)=(a+1)/-b+c=-2
【分子相同，结果互为相反数，则分母互为相反数】
解得c=0
f(1)=(a+1)/b=2 即a+1=2b
f(2)=(4a+1)/2b＜3
即(4a+1)/(a+1)＜3
【移项，通分，可化为(4a+1-3a-3)/(a+1)＜0即(a-2)/(a+1)＜0，分数值小于0，则分子分母异号，观察式子，分子小于分母，因而分子＜0，分母＞0】
解得-1＜a＜2
∵a∈Z，∴a=1或0
当a=0时，代入(a+1)/b=2得，b=1/2，与b∈Z矛盾，故舍去。
当a=1时，代入(a+1)/b=2得，b=1，符合。
综上所述，a=1,b=1,c=0

③
【原函数是个固定位置的图像开口向上有最小值的二次函数，因而需要分三种情况讨论，图像的对称轴在区间[t,t+2]的左边，之间，右边，因而g(t)是个分段函数。图像电脑上实在不好画，你自己画一个】
f(x)=x²-4x-1=(x-2)²-5
图像的对称轴为直线x=2
当t＞2时，这段函数为增函数，当x=t时，函数取得最小值(t-2)²-5
当t＜2＜t+2时，函数最小值为-5
当t+2＜2即t＜0时，这段函数为减函数，当x=t+2时，函数取得最小值t²-5
综上所述，
g(t)={ (t-2)²-5 t＞2
-5 t＜2＜t+2
t²-5 t＜0
【分段函数你会写的吧，那个很大的左大括号和空格实在弄不出来啊】
由分段函数解析式可得，该分段函数的最小值为-5

④
结论： F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
证明：
设x1,x2∈(-∞,0),x1则 -x1>-x2>0
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0
∴ 0>f(-x1)>f(-x2)
又f(x)是奇函数
∴ 0>-f(x1)>-f(x2)
0∴1/f(x1)>1/f(x2)
即F(x1)>F(x2)
∴F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
【这个增减+奇偶什么的题目，理解不了的地方就画图】

⑤
设x1,x2∈[1,3]，x1＜x2
f(x2)-f(x1)=(x2-1)/(x2+1)-(x1-1)/(x1+1)=2(x2-x1)/(x1x2+x1+x2+1)【通分你可以的】
∵x1＜x2
∴2(x2-x1)＞0
又x1,x2∈[1,3]
∴x1x2+x1+x2+1＞0
即f(x2)-f(x1)＞0
∴该函数为增函数
∴当x=1时，函数取得最小值f(1)=0
当x=3时，函数取得最大值f(3)=1/2
综上所述，该函数的最大值为1/2，最小值为0