二元二次方程的解法？

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程
二元二次方程的应用
。其一般式为：ax²+bxy+cy²+dx+ey+f。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当b=0,时，a、d至少一项不为零)。
二元二次方程的解
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
1）有两组相等的实数解。
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式
二元一次方程组(3张)
（4）当a<2时，方程③有两个不相等的实数根，则原方程有不同的两组实数解。
（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。
（6）当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解
例子
解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,
且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.
提示:
解方程的基本思想是消元与降次。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:叉乘法及叉阵)，难度较大。也可以运用函数的解析法。在此，谨作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

我们知道，二元一次方程表示的图形是直线，但一些二元二次方程和无理方程在一定的条件下，它也可以表示一条直线或两条直线，其解法的基本思想是将方程化归为二元一次方程，但其方法较为灵活，故笔者将通过一些实例来提供解决此类问题的一些常见解法，以助同学们一臂之力。
1、直接分解法
例1、证明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示两相交直线。
分析：只需将方程左边分解成两个二元一次方程即可。
证明：原方程可化为(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0
(x-3y)(x+2y+3)=0
∴x-3y=0 或x+2y+3=0
∴方程表示两条直线
又∵它们的斜率不相等，∴两直线相交。
2、配方法
例2、当k为何值时，方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直线。
分析 ：对x,y 分别进行配方，把方程化为(x-m)2-(y-n)2=c的形式，令c=0即可表示直线。
解：方程可化为 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4
令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1
即当k=4或-1 时，方程表示直线。
3、待定系数法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直线，试确定k 的值。
分析 ：方程中的二次项可分解为(x-3y)(x+y),所以，方程欲表示直线，方程左边只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0
即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0
(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0
m+n=-k
m-3n=k+6
mn=-2
m=2
n=-1
k=1
m=1
n=-2
k=-1

∴

∴ k=±1.
4、判别式法
例4、是否存在实数k，使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直线，若能，试确定k的值；若不能，请说明理由。
分析：将方程视作x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直线，只需ㄓx是完全平方式，请注意，它是关于y的二次三项式，而要使y的二次三项式为完全平方，只需ㄓy=0即可。
解：方程可化为x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0
∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)为完全平方式
∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0
(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1
∴存在k=1使得方程表示直线。
5、利用根分布
例5、 仅表示一条直线，求此时k的取值范围。
分析：将方程视作 的一元二次方程，则方程表示一条直线的充要条件是关于 的一元二次方程仅有一个非负实数根。
解：令 =t(t≥0)方程可化为t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)
∴方程（*）在 上有且仅有一个非负实根。
ㄓ=0

∴ 或k +3<0

∴ .
说明：方程（*）在 上有且仅有一个非负实根的问题，也可用数形结合法来解，这里不再赘述。