对无限的理解
1个回答
无限是一种能力,并不是一个固定点
最初牛顿、莱布尼兹发明微积分的时候,并没有定义清楚极限过程(无穷大、无穷小)。比如y=1/x这个函数,老师肯定说过x越大y就越接近0,y可以无限接近0(注意,出现了“无限”一词),牛顿他们当时也是这么说的,但是有人就要追问“什么叫无限接近?”“无限是什么意思?”,这没办法用严谨的数学语言回答。
后来的一批数学家,才逐渐定义出无限的精确定义。其实无限是一个过程,比如y=1/x在x越来越大的时候,可以无限接近于0,就是说随便找一个正数ε作为标尺去衡量它的能力,都能找到一个X,只要x>X的时候,1/x就比ε小。也就是这个问题里面的“无限趋近于0”就是一种能力,一种能够比任何数都小的能力(那个X是发挥它能力的前提,就是x>X的时候,能力就发挥出来了),只要能比任何正数小,就是无限趋近于0。同理,楼主说的“无限小数”里面的“无限”也指的一种能力。什么能力呢?就是随便你给个整数N,不管有多大(成千上亿也行),这个小数的第N位以后总还是有数的(不都是0),无限的含义就是这种能力,所以并不存在发不发现边界,有没有停止之类的问题,它有这样的能力很正常,就像人有吃饭睡觉的能力一样
最初牛顿、莱布尼兹发明微积分的时候,并没有定义清楚极限过程(无穷大、无穷小)。比如y=1/x这个函数,老师肯定说过x越大y就越接近0,y可以无限接近0(注意,出现了“无限”一词),牛顿他们当时也是这么说的,但是有人就要追问“什么叫无限接近?”“无限是什么意思?”,这没办法用严谨的数学语言回答。
后来的一批数学家,才逐渐定义出无限的精确定义。其实无限是一个过程,比如y=1/x在x越来越大的时候,可以无限接近于0,就是说随便找一个正数ε作为标尺去衡量它的能力,都能找到一个X,只要x>X的时候,1/x就比ε小。也就是这个问题里面的“无限趋近于0”就是一种能力,一种能够比任何数都小的能力(那个X是发挥它能力的前提,就是x>X的时候,能力就发挥出来了),只要能比任何正数小,就是无限趋近于0。同理,楼主说的“无限小数”里面的“无限”也指的一种能力。什么能力呢?就是随便你给个整数N,不管有多大(成千上亿也行),这个小数的第N位以后总还是有数的(不都是0),无限的含义就是这种能力,所以并不存在发不发现边界,有没有停止之类的问题,它有这样的能力很正常,就像人有吃饭睡觉的能力一样
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