n个平面最多把空间分成多少部分

一 首先考虑 n条直线最多把平面分成an部分
于是a0=1 a1=2 a2=4
对于已经有n条直线 将平面分成了最多的an块
那么加一条直线 他最多与前n条直线有n个交点 于是被它穿过的区域都被一分为二 那么增加的区域数就是穿过的区域数 也就是这条直线自身被分成的段数 就是n+1 故a(n+1)=an+n+1
an=n+(n-1)+...+2+a1=n(n+1)/2 +1
二 再考虑n个平面最多把空间分成bn个部分
于是b0=1 b1=2 b2=4
对于已经有n个平面 将空间分成了最多的bn块
那么加入一个平面 它最多与每个平面相交 在它的上面就会得到至多n条交线
同时被它穿过的空间区域也被它一分为二 那么增加的区域数仍旧是它穿过的区域数 也就是这个平面自身被直线分割成的块数 就是an
于是b(n+1)=bn+an
bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1
=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2
=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1
=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1
=n(n+1)(n-1)/6 +n+1
=(n^3+5n+6)/6

当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。
1、 这n个平面两两相交；
2、 没有三个以上的平面交于一点；
3、 这n个平面的交线任两条都不平行。
对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个
平面分空间的部分数为 an，易知
当n=1时，an=2 ；
当n=2时，an=4
当n=3时，an=8
当n=4 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知an=15 ；
从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分，那么
当n=1,2,3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。
当n=k 时，设 k条直线将平面分成了 bk个部分，接着当添加上第k+1 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有 k个交点，这 k个交点将第 k+1条直线分割成k段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了K+1 个区域，故得递推关系式
b(k+1)=b(k)+(k+1) ，即 b(k+1)-b(k)=k+1
显然当k=1 时, b(1) =2,当k=1,2,3.....n-1 时，我们得到 个式子：
b(2)-b(1)=2;
b(3)-b(2)=3;
b(4)-b(3)=4;
b(5)-b(4)=5;
……
b(n)-b(n-1)=n;
将这 n-1个式子相加，得 b(n)=1/2*(n^2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成1/2*(n^2+n+2) 个部分。
我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定b(k) 与b(k+1)的递推关系，最后得出结论。
现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成a(k)个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。
而这b(k)个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。由此的递推关系式
a(k+1)=a(k)+b(k)， 即 a(k-1)-a(k)=b(k)
当k=1,2,3........n-1时，我们得到如下n-1个关系式
a(2)-a(1)=b(1);
a(3)-a(2)=b(2);
……
a(n)-a(n-1)=b(n-1);
将这n-1个式子相加，得
a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+.......+b(n-1))
因为 b(n)= 1/2*(n^2+n+2),a(1)=2
所以 a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+........+((n-1^2)+(n-1)+2)}
=(n^3+5*n+6)/6
问题的解：由上述分析和推导可知，n个平面最多可将平面分割成 =(n^3+5*n+6)/6
个部分。