怎么用有限覆盖定理证明确界定理（不能使用六大定理的等价替换来证明）

证明：用反证法.
假设存在集合A有上界M但没有上确界,设a为A中的一个元素.则a考虑闭区间[a,M]上的每一个元素x,取它的一个邻域I[x],具体取法如下：
(1)如果x是A的上界,那么由反证假设知x不是A的上确界,即存在比x更小的A的上界x'.取I[x]=(x',2x-x').显然I[x]内的所有元素都是A的上界.
(2)如果x不是A的上界,那么必存在A的元素a'使得a'>x.取I[x]=(2x-a',a').显然I[x]内的所有元素都不是A的上界.
这样对闭区间[a,M]上的每一个元素x,它都属于它的邻域,即我们构造了一个闭区间[a,M]的无限开覆盖.由有限覆盖定理,其中必存在有限个邻域覆盖整个区间.
在这有限个邻域中取所有满足x是A的上界（即条件(1)）的区间I[x],设这些区间的左端点（共有限个）的最小值为x0.显然x0是A的一个上界.
考虑x0,显然x0∈[a,M],但x0却不属于有限个区间中的任何一个.这是因为它既不属于由条件(1)构造的I[x]（它比这些区间中的任何数都小）,也不属于由条件(2)构造的I[x]（这些区间中所有的数都不是A的上界）.这就构成了矛盾!
对于下界及下确界的情况完全类似.
证毕.