微积分第七版同济电子书

上册有三讲:极限、一元函数微分学、一元函数积分学；下册有四讲:多元微分学、二重积分、微分方程、无穷级数。

第一讲极限。

核心考点有三。

一、极限的定义及性质。函数极限和数列极限定义学会数学翻译，所有极限的成立，都是在取值范围内的；

掌握递推法(高阶到低阶)；数学归纳法(从低阶到高阶)。

讨论一个函数在定义域上的有界性；

二、重点是极限计算。十六字方针:化简先行、判别类型、使用工具、注意事项。

化简先行中等价无穷小替换中"抓大头"，注意找“带头大哥”(多项加加减减，找最大的那项，把其他项都甩掉)；离铅垂渐近线走得越近的人其实跑无穷大越慢；恒等变形中数学上不喜欢金字塔，因其极其稳定，头重脚轻根蒂浅；

判别类型中只有7种未定式。0·∞型设置分母有原则，简单分母才下放；∞-∞型没有分母，创造分母。

使用工具中慎用洛必达，洛必达法则是求导的结果存在，原式才存在。带着参数求导的结果你不知道是几。若洛必达失效，反思一下准备工作有没有做好(化简)；在泰勒眼中所有函数都是幂函数，包括变上限积分函数。

注意事项是指总结经验教训。

含参数的极限综合题加强训练。

数列极限计算:归结原则、夹逼准则、单调有界准则(注意数学归纳法)。

三、极限的应用——连续与间断。

第二、三讲 一元函数微积分学。

核心考点有四。

一、定义:导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分。

原函数存在定理:看一个函数是否有不定积分，盯着"连续与间断"；

函数可积:看一个函数是否有定积分，盯着函数在有限区间上有界且只有有限个间断点；

根据被积函数图像画变限积分函数的图像，后者斜率是前者的值，后者函数值对应前者上面的面积。

函数的奇偶性、周期性、有界性(证谁有界，给谁加绝对值；证有界，最后结果都是常数，不能有变量)。

定积分精确定义。

变限积分属于定积分范畴，实质上是取决于x的一个动的面积；变限积分求导公式使用前提:被积函数中只含积分变量，不含求导变量。

反常积分是定积分之拓展，分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分；判断反常积分的关键:看奇点；判断反常积分是否收敛关键:看曲线和直线的接近程度(离水平渐进线越近，趋向于0的速度越快；离铅垂渐进线越远，跑无穷大的速度越快)，P积分必考无疑。

二、计算。

1、积分。

基本积分公式:三角函数10个、分母开方的4个、分母不开方的4个。(对数函数求导视绝对值而不见)

步骤:普京抓主要矛盾求导凑微分；若凑微分失效，针对复杂部分作换元处理，先考虑微观换元法；举重若轻，宏观换元法。

华里式公式(点火公式)证明；一个题目结合区间再现公式、换元、点火(华里士)公式。

2、求导。

一般题:复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导、对数求导法、分段函数求导；

高阶题:泰勒和麦克劳林、莱布妮子(考得少)。

三、应用。

1、几何应用。

①导数性态——三点两性一线:极值点与单调性、拐点与凹凸性、渐进线、最值点。

极值点和拐点的判别法一都是看一个点的左右两边导数符号，判别法二都是盯着一个点看，判别法二要会证明；(求拐点注意抓主要矛盾)

渐近线求解程序有三，其中第一点求定义域是关键，后两步关键是极限计算!

求一元函数最值——闭区间上比较驻点、不可导点、端点函数值；开区间上不能取端点取极限值。最后比较时涉及到函数计算，如计算三角函数值，注意看图说话，如背过正弦函数在【0，π】上的四等分面积。

②积分(测度)

平面图形面积、旋转体体积、平均值。

难点在于计算，任何一道编好的考研题，都有能力把图像画出来(导数性态)。

四、逻辑(证明)

中值定理、不等式证明、方程根(等式证明)

第四讲 多元函数微分学

核心考点有三。

一、概念5个

1、极限的存在性:两个定义；三种方法:等价无穷小替换、无穷小·有界=无穷小、夹逼准则。

2、连续性

3、偏导数存在性

4、可微

5、偏导数的连续性

二、计算-微分法

三、应用-极值与最值:无条件极值与点儿塔法；条件最值与拉格朗日乘数法。

对计算二元函数的极限和全微分有了更深刻的认识和掌握，拉格朗日乘数法关键是计算。

第五讲 二重积分

核心考点有三。

一、概念与对称性。二重积分看作是一个个薯条组成的大面包；对称性分普通对称性与轮换对称性，轮换对称性只是"积分值与字母无关"的特例、巧合。

二、计算。

1、基础题。直角坐标系、极坐标系

2、技术题。换序、对称性、形心公式的逆用。

三、综合题。

第六讲  微分方程

核心考点有三。按类求解，对号入座。

一、一阶方程:可分离变量型、齐次型、一阶线性型、可降阶

求解中出现对数，其真数要带绝对值符号。

可降阶微分方程通过换元变形成其他三种形式的微分方程，尤其是转化成一阶线性型再求解。

二、高阶方程:二阶常系数齐次线性方程、非齐次

对于高阶方程除了会正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思维)。

三、应用题。

背景公平；翻译成数学表达式。

另今天接触到牛顿-莱布尼茨公式的逆用:将一个数写成定积分的形式，这种逆向思想令人感到惊艳。

第七讲 无穷级数

核心考点有三。

一、数项级数的判敛。

1、概念(本质):无穷级数本质是研究通项在n趋于无穷大时趋于0的速度，对比无穷区间上反常积分收敛时高"无穷小的程度"；

2、分类:(常)数项级数-正项级数、交错级数、任意项级数

函数项级数-幂级数

3、数项级数的判敛

①正项级数的判敛:

收敛原则，抽象级数判敛，写其前n项和，证其有界 ，难的是放缩法；

正项级数比较判别法；

比较判别法的极限形式和P级数是重点；P级数和1到无穷大区间上的P积分对比，一个是离散累加，一个是连续累加。

比值判别法；

根值判别法。

②交错级数的判敛:莱布尼茨判别法；

③任意项级数判绝对收敛；

连续放缩的递推法。

二、幂级数的收敛域。

三、展开与求和。

1、幂级数展开分为直接展开(照着6个公式套)和间接展开(先变形)。

2、先导后积的推导。

求和函数先导后积中有嵌套的先导后积，注意换字母以区分各变量；具体求结果时便是硬基础——定积分的计算(时刻注意对数的真数为正)；

幂级数的展开与求和各重做一道错题。发现还是出错。每次自己独立动脑做题都会发现意外惊喜——新错误。只有自己动笔做而非直接听或看答案，才能真正理解题目的内涵。做过很多遍的题，看起来简单，但还会出错说明要脚踏实地，不能眼高手低。踏踏实实砌好每一块砖。学一个知识点就是学成千上万个知识。

高数下册微分方程及无穷级数是上册极限与微积分的具体运用，计算过程处处跟上册有密切联系。一些题目只是套上级数的外衣。

五积:病名。五脏积证之总称。《难经·五十六难》载五脏之积：肝之积名曰肥气，心之积名曰伏梁，脾之积名曰痞气，肺之积名曰息贲，肾之积名曰贲豚。后世称为五积。
六聚 :六腑聚症之总称。《中藏经·积聚症瘕杂虫论》：“聚有大肠、小肠、胆、胃、膀胱、三焦之六名也。”后世如《三因极一病证方论》将聚总称为六聚。
八瘕:八种病证名。即黄瘕、青瘕、燥瘕、血瘕、脂瘕、狐瘕、蛇虾、鳖瘕。出《诸病源候论》卷三十八。其成因为“八瘕者，皆胞胎生产，月经往来，血脉精气不调所生也。”

济宁大。
一、临沂市面积：17192平方千米；
二、潍坊市面积：16138平方千米；
三、烟台市面积：13654平方千米；
四、菏泽市面积：12256平方千米；
五、济宁市面积：11191平方千米；
六、青岛市面积：11064平方千米；
七、德州市面积：10361平方千米；
八、滨州市面积：9156平方千米；
九、聊城市面积：8721平方千米；
十、东营市面积：8617平方千米；
十一、济南市面积：8177平方千米；
十二、泰安市面积：7762平方千米；
十三、淄博市面积：5964平方千米；
十四、威海市面积：5797平方千米；
十五、日照市面积：5359平方千米；
十六、枣庄市面积：4564平方千米；

五脏之气为积，名曰积，故积有五。六腑之气是聚，名曰聚，故聚有六。症：宇宙观以无中生有立论，具体划分为四个阶段易、初、始、素。易是空虚寂寥的未有气的阶段，初是“气”产生的阶段，始是“形”产生的阶段，素是“质”产生的阶段。易、初、始、素、气、形、质，谓之七症。

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学习习惯因人而异，主要还是你自己把握。简单说首先要搞懂基本概念，尤其是极限、有界、连续、可微、可导、可积等非常重要的概念，清楚它们间的关系。在此基础上再去提高计算能力，尤其要多看例题，积累解题方法。

定义域=R 全部实数
y'=3x^2-6x=3x(x-2)令其=0 得x=0 x=2
观察其区域
(负无穷,0）(0,2)(2,正无穷）
3x - + +
(x-2) - - +
y' +增区间 -减区间 +增区间

y''=6x-6令其=0 x=1
(负无穷，1）（1，正无穷）
y'' -凸 +凹
x=1为拐点

最后把图画出来 理解一下
要把原函数 导数 二阶导数的图形全部画出来 参透其中联系！

微积分其实就是高等数学的一部分！！！

抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深人地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。

学好微积分要做到四点：



首先，理解概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第三,在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。

除了做到上面几点，还有就是多下功夫，，多做做习题，不知道你是什么专业，要求是不同的。

书上的例题一定要弄懂！书上的概念，定理，例题，，，以及课后的习题都搞懂了，微积分就可以过了。。。。