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九章算术
○方田(以御田畴界域)
今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。
又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。
〔图:从十四,广十二。〕
方田 术曰:广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义
同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名
责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者
举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之
本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存
善去非,略为料简,遗诸后学。〕
以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一
亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而
截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,
凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。
二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕
今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。
又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。
里田 术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。
〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即
得亩数也。〕
今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。
又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。
○约分
〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。
设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则
异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕
术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,
求其等也。以等数约之。
〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕
今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。
又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三
分之五十。
又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得
二、六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细
既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕
术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,
然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母
互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,
势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通
体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错
综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同
以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕
实如法而一。不满法者,以法命之。
〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得
知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕
其母同者,直相从之。
今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。
又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。
○减分
〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰
减分。〕
术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者,
同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕
今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六
多,多二百分之三。
又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三
分之二。
又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八
多,多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕
术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。
〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意
与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕
今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减
四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。
又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减
三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平
分也。〕
术曰:母互乘子,
〔齐其子也。〕
副并为平实。
〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知,
限为平。〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕
以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。
淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三
重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕
以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。
今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰:
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以
人数分所分,故曰经分也。〕
术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。
乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知,
自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令
两分母相乘法实也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内
子,又令分母互乘上下。〕
今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。
又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。
○乘分
〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕
术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃
为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各
当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十
匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤
之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五
匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十
二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者,
犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求
齐而已。又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马,一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异,而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一,从五步五分步之二,问为田几何?答曰:十八步。
又有田广七步四分步之三,从十五步九分步之五,问为田几何?答曰:一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五,从二十三步十一分步之六,问为田几何?答曰:
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按:大广田知,初术直有全步而无余分;次术空有余分而无全步;
此术先见全步,复有余分,可以广兼三术,故曰大广。〕
术曰:分母各乘其全,分子从之,
〔分母各乘其全,分子从之者,通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分,当各自通其分。命母入者,还须出之,故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步,正从二十一步,问为田几何?答曰:一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?答曰:二十
三步六分步之五。
术曰:半广以乘正从。
〔半广知,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半广乘从,以取中
平之数,故广从相乘为积步。亩法除之,即得也。〕
今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。问为田几何?
答曰:九亩一百四十四步。
又有邪田,正广六十五步,一畔从一百步,一畔从七十二步。问为田几何?
答曰:二十三亩七十步。
今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。
又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。
〔图:从十四,广十二。〕
方田 术曰:广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义
同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名
责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者
举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之
本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存
善去非,略为料简,遗诸后学。〕
以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一
亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而
截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,
凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。
二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕
今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。
又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。
里田 术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。
〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即
得亩数也。〕
今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。
又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。
○约分
〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。
设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则
异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕
术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,
求其等也。以等数约之。
〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕
今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。
又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三
分之五十。
又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得
二、六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细
既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕
术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,
然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母
互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,
势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通
体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错
综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同
以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕
实如法而一。不满法者,以法命之。
〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得
知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕
其母同者,直相从之。
今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。
又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。
○减分
〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰
减分。〕
术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者,
同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕
今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六
多,多二百分之三。
又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三
分之二。
又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八
多,多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕
术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。
〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意
与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕
今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减
四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。
又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减
三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平
分也。〕
术曰:母互乘子,
〔齐其子也。〕
副并为平实。
〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知,
限为平。〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕
以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。
淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三
重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕
以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。
今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰:
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以
人数分所分,故曰经分也。〕
术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。
乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知,
自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令
两分母相乘法实也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内
子,又令分母互乘上下。〕
今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。
又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。
○乘分
〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕
术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃
为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各
当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十
匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤
之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五
匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十
二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者,
犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求
齐而已。又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马,一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异,而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一,从五步五分步之二,问为田几何?答曰:十八步。
又有田广七步四分步之三,从十五步九分步之五,问为田几何?答曰:一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五,从二十三步十一分步之六,问为田几何?答曰:
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按:大广田知,初术直有全步而无余分;次术空有余分而无全步;
此术先见全步,复有余分,可以广兼三术,故曰大广。〕
术曰:分母各乘其全,分子从之,
〔分母各乘其全,分子从之者,通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分,当各自通其分。命母入者,还须出之,故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步,正从二十一步,问为田几何?答曰:一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?答曰:二十
三步六分步之五。
术曰:半广以乘正从。
〔半广知,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半广乘从,以取中
平之数,故广从相乘为积步。亩法除之,即得也。〕
今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。问为田几何?
答曰:九亩一百四十四步。
又有邪田,正广六十五步,一畔从一百步,一畔从七十二步。问为田几何?
答曰:二十三亩七十步。
九章算术
三二〕又有圆田,周一百八十一步,径六十步、三分步之一。问为田几何?
答曰:十一亩九十步、十二分步之一。
术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周径相乘,四而一。
又术曰:径自相乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。
〔三三〕今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?
答曰:一百二十步。
〔三四〕又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?
答曰:五亩六十二步、四分步之一。
术曰:以径乘周,四而一。
〔三五〕今有弧田,弦三十步,矢十五步。问为田几何?
答曰:一亩九十七步半。
〔三六〕又有弧田,弦七十八步、二分步之一,矢十三步、九分步之七。问为田几何?
答曰:二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
〔三七〕今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。问为田几何?
答曰:二亩五十五步。
〔三八〕又有环田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,径十二步、三分步之二。问为田几何?
答曰:四亩一百五十六步、四分步之一。
术曰:并中外周而半之,以径乘之为积步。
密率术曰:置中外周步数,分母、子各居其下。母互乘子,通全步,内分子。以中周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法,除之为积步,余积步之分。以亩法除之,即亩数也。
答曰:十一亩九十步、十二分步之一。
术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周径相乘,四而一。
又术曰:径自相乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。
〔三三〕今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?
答曰:一百二十步。
〔三四〕又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?
答曰:五亩六十二步、四分步之一。
术曰:以径乘周,四而一。
〔三五〕今有弧田,弦三十步,矢十五步。问为田几何?
答曰:一亩九十七步半。
〔三六〕又有弧田,弦七十八步、二分步之一,矢十三步、九分步之七。问为田几何?
答曰:二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
〔三七〕今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。问为田几何?
答曰:二亩五十五步。
〔三八〕又有环田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,径十二步、三分步之二。问为田几何?
答曰:四亩一百五十六步、四分步之一。
术曰:并中外周而半之,以径乘之为积步。
密率术曰:置中外周步数,分母、子各居其下。母互乘子,通全步,内分子。以中周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法,除之为积步,余积步之分。以亩法除之,即亩数也。
《九章算术》讲的是什么内容?
《九章算术》的九章的主要内容分别是: 第一章“方田”:田亩面积计算; 第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换; 第三章“衰分”:比例分配问题; 第四章“少广”:已知面积、体积、求其一边长和径长等; 第五章“商功”:土石工程、体积计算; 第六章“均输”:合理摊派赋税; 第七章“盈不足”:即双设法问题; 第八章“方程”:一次方程组问题; 第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题.
九章算术 是谁写的
没有写历史上记载是东汉民间前的一套整理之前的一本数学书
《九章算术》
5÷(1-1/3)÷(1-1/5)÷(1-1/7)=175/16斗
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