運動前に準備しよう

其实你这句里的“ように”用“ような”也是可以的，只不过修饰的对象或句子的语气有所不同，译成中文还是差不多的。
你说的不错，“东京のようにたくさんの人が住む”是个连体修饰语（即定语句）它修饰中心词“都会”，但你问既然是连体修饰语为什么虚如不用“ような”，这就有点概念上的糊涂了。
我们先分析一下整个句子，首先看到它的基本主干是“---都会へ行きたい”（想去都市），而“都会”前就是一句定语句（即你所说的“连体修饰语”），问题是，“我想去都市”，怎么样的都市呢？前面定语句就是说明这个问题的。这句定语句（即你所说的“连体修饰语”）是“东京のようにたくさんの人が住む”（中文为“像东京那样拍誉丛地有许多人住的”）那么这个比况助动词“ようだ”只不过是此定语句中的一个成分，它的修饰对象并非只限于直接对着中心词“都会”，它现在是“ように”，说明是在作定语句中的“副词”用（不是整个句子的副词，和后面的“行く”没有修饰关系，不可能意为“像东京一样地去”），即是在修饰定语句中的“住む”（中文语义为“像东京那样地有许多人住”）注意中文应译为“那样地”，而不是“那样的”。
那么，你所说的用“ような”可以吗，当然也可以，这样就成袭樱了一句双重修饰的定语句，即”东京のような”修饰中心词“都会”，同时“たくさんの人が住む”也修饰“都会”，中文就应译为“像东京那样的住着许多人”的城市（就中文应写成“像东京那样的”了）
所以这句用“ように”或“ような”都可以，这是修饰的对象（侧重点）不同，中文来理解就是两个不同的“de”。

一起的意思，例如：一起去玩。

“去玩吧”的意思，不过你这句原文搜拦段语法没错但说得比较生硬，还是衡拍用“游びに行きましょうよ世誉”好一些，男生的话可以说“游びに行こうぜ”

希望明天能天晴。
ように 是希望的意思

世界酒店大王希尔顿，早年追随掘金热潮到丹麦掘金，他没有别人幸运，没有掘出一块金子，可他却得到了上天的另一种眷顾。当他失望地准备回家时，他发现了一个比黄金还要珍贵的商机，也迅速地把握住了它。当别人都忙于掘金之时他却忙于建旅店，他顿时成为了有钱人，也为他日后在酒店业的成功奠定了基础。

中国首富李嘉诚想必人人都知道吧。他的成功在于对时机的把握。改革开放初期，社会还相对落后，土地也没有现在这样的“寸土必争”。但就是在这样的环境下，李嘉诚把握住了商机，在自己并不富裕的情况下借巨款购买了大量的地皮。这样的举动需要多大的勇气和智慧啊。也正是这次常人想都不敢想的投资使他发家起业，成为了亚洲地产大亨。

可以理解为固定用法：动词意志行姿缺+とする.
你说的と思います,此时的と是表示内容。与迹竖辩上面的用法不一样。

个人纤键觉得不需要追究，只记住固定用法就行了

ようになる是成为像XX那样，になる是成为XX。

出かけようと猛巧老した时に：在我想要出去的时候

とした=と+した=表示对象+动词过去时
*ちょうど彼に电话をかけようと宽滑した时,彼がやって来た./正要给他打电话枝升,他却来了

这2个句型其实不是一类的,不需要比较.
你只要知道ように的用法(这里是，希望，依赖，注意, 轻微的命令的意思）
～してください 就是单纯的 请
～ようにしてください也可以把してください省略，加上后就是显得档团液更客气。
比如:

砂糖を入れ行物すぎないようにしてくだ或槐さい。
井戸水は饮まないようにしてください。