正比例函数的图像和性质

六大函数的性质和图像有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和常数函数。

1.线性函数

线性函数是指形式为f(x)=kx+b的函数，其中k和b为常数。线性函数的性质包括：图像为一条直线，斜率k代表直线的斜率，截距b代表直线与y轴的交点。线性函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的位置。

2.二次函数

二次函数是指形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数且a不为零。二次函数的性质包括：图像为一个开口朝上或朝下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。二次函数的图像是一个抛物线，开口方向和形状由a的正负决定，顶点决定了抛物线的最低点或最高点。

3.指数函数

指数函数是指形式为f(x)=a^x的函数，其中a为常数且大于零且不等于1。指数函数的性质包括：图像为一条递增或递减的曲线，以a为底，x为指数，表示了指数函数的增长或衰减速度。指数函数的图像随着x的增加或减小而递增或递减，指数a决定了增长或衰减的速度。

4.对数函数

对数函数是指形式为f(x)=loga(x)的函数，其中a为常数且大于0且不等于1。对数函数的性质包括：图像为一条递增或递减的曲线，以a为底，x为对数，表示了对数函数的增长或衰减速度。对数函数的图像随着x的增加或减小而递增或递减，底数a决定了增长或衰减的速度。

5.三角函数

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。三角函数的性质包括：图像是一个周期性波动的曲线，表示了角度和三角函数值的关系。正弦函数和余弦函数的图像是以一个周期内的最高点和最低点为基准的波动曲线，正切函数的图像是一条周期性的曲线。

6.常数函数

常数函数是指形式为f(x)=c的函数，其中c为常数。常数函数的性质包括：图像为一条水平直线，表示了函数在定义域上的所有值都相等。常数函数的图像是一条水平的直线，函数的值始终为常数c。

幂函数图像的基本性质如下：

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

取正值

当α>0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

取负值

当α<0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；

c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

折叠取零

当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。(00没有意义）

定义域和值域

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定，即如果同时p为奇数， 则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2.如果同时p为偶数，则函数的定义域为所有非零实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

2. 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

初中所学的函数包括一次函数、反比例函数、二次函数，函数在考试中占有很高的分值。因此，我整理了它们的一些重要知识点。

一次函数

一、定义：一般地，解析式形如y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的函数叫做一次函数。一次函数的定义域是一切实数。当b=0时，y=kx（k≠0）是正比例函数。

二、图像

1、正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线。

（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；

（2）当k＜0时，图像经过原点和第二、四像限：

2、一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0，b）和B（-k/b，0）两点的一条直线，当k、b≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：

（1）k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三像限：

（2）k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四像限：

（3）k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四像限：

（4）k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四像限：

3、求一次函数的解析式

若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x ₁ ，y ₁ ）和B(x ₂ ，y ₂ )求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：

（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0) 

（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y ₁ =kx ₁ +b ① ；y ₂ =kx ₂ +b ② 

（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值。

这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法，称为待定系数法。

反比例函数

一、定义：一般地，形如y=k/x(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。

（1）常数k称为比例系数，k ≠0、x≠0、y≠0；

（2）判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是否是一个常数；

（3）解析式有三种常见的表达形式：

（A）y = k/x（k≠0）；（B）xy = k（k≠0）；（C）y=kx ^-1 （k≠0）

二、图像

1、k>0时

2、k<0时

二次函数

一、定义：一般地，形如y=ax ² +bx+c的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：a、b、c为常数并且a≠ 0；最高次数为2；代数式一定是整式。

二、基本形式及图像

1、y=ax ²

（1）a>0时：开口方向向上，顶点坐标（0,0），对称轴为y轴。x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0。

（2）a<0时，开口方向向下，顶点坐标（0,0），对称轴为y轴。x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0。

2、y=ax ² +c

（1）a>0时：开口方向向上，顶点坐标（0,c），对称轴为y轴。x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0。

（2）a<0时，开口方向向下，顶点坐标（0,c），对称轴为y轴。x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0。

3、y=a（x-h） ²

（1）a>0时：开口方向向上，顶点坐标（h，0），对称轴为x=h。x>h时，y随x的增大而增大；x

（2）a＜0时：开口方向向下，顶点坐标（h，0），对称轴为x=h。x>h时，y随x的增大而减小；x

4、y=a（x-h） ² +k

（1）a>0时：开口方向向上，顶点坐标（h，k），对称轴为x=h。x>h时，y随x的增大而增大；x

（2）a＜0时：开口方向向下，顶点坐标（h，k），对称轴为x=h。x>h时，y随x的增大而减小；x

以上是我整理的函数的知识点，希望能帮到你。

指数函数的性质指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0

y'=(1-lnx)/x²

令y'=0得x=e

当00，y单调递增

当x>e时，y'<0，y单调递减

y=lnx/x 的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,1/e)，极大值是y=lne/e=1/e

在递减区间(e,+∞)上，0

函数图像画法具体如下：

令x=0，得y=1，令y=0，得x=1/2。

过点(0，-1)，(-1/2, 0)画直线就是y=2x-1的图像旦改。

k，b决定函数图像的位置。

y=kx时，y与x成正比例。

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大。

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时。

当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b>0时，直线必通过第一、二象限。

当b<0时，直线必通过第三旦迟友、四象限。

当b=0时，直线经过原点O（0，0）。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第模槐二、四象限。

当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

一次函数的函数性质

1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。

2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。

3、k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°）。

4、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

5、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行。

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴。

当k互为负倒数时，两直线垂直。

6、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。